Subgrupo máximo de los grupos de 2 de Wreathed

Question

Definición A $2$ -grupo $S$ se llama corona de flores si es isomorfo a $(C\times C)\rtimes \langle i \rangle$ donde $C$ es un grupo cíclico de orden $2^n$ y $i$ es una involución con acción $(a,b)^i=(b,a)$ para todos $(a,b)\in C\times C$ .

Me pregunto sobre la estructura de los subgrupos máximos de $S$ . Claramente, uno de ellos es $C\times C$ y es abeliana.

Creo que el resto de los subgrupos máximos no son abelianos cuando $n\geq 2$ . (Cuando $n=1$ tenemos un grupo diedro de orden $8$ .) Sin embargo, si $M$ es un subgrupo máximo de $S$ entonces $M$ tiene un subgrupo abeliano de índice $2$ .

Cualquier comentario y referencia es bienvenida.

Answer 1

Subgrupos máximos de $p$ -grupos $G$ tener índice $p$ y contienen $\Phi(G) = [G,G]G^p$ .

En este ejemplo, con $a$ un generador de $C$ tenemos $\Phi(G) = \langle (a,a^{-1}), (a^2,1), (1,a^2) \rangle$ tiene índice $4$ en $G$ y hay tres subgrupos máximos:

$\langle (a,1), (1,a) \rangle = C \times C$ ;

$\langle (a^2,1), (1,a^2), (a,a^{-1}), i \rangle$ y

$\langle (a^2,1), (1,a^2), (a,a^{-1}), (a,1)i \rangle$ .