Quiero demostrar que la $$ \sum_{k=0}^{j} \binom{2j+1}{k+j+1} \ \frac{(-1)^k}{2k+1}=2^{2j-1}\ B(j+1,1/2),$$
donde $B(\cdot , \cdot)$ es la función beta.
Mi idea era cambiarlo a algo así como mi pregunta anterior.
Edición 1.De ello se deduce a partir de la absorción de la fórmula que $$ \binom{2j+1}{k+j+1} = \frac{(2j+1)(2j) \ldots(j+2)(j+1)}{(k+j+1)(k+j) \ldots(k+2)(k+1)} \binom{j}{k}.$$ ¿Cómo puedo ir más allá con este binomio de la serie?
Edición 2. Esta suma se va a divergir muy rápido como $j \to \infty,$, por lo que supongo que algo como $\binom{2j}{j}$ inolves.
Edición 3. Debido a $(-1)^k$, tenemos un montón de cancelaciones, lo que hace que la serie sea controlado.
Edición 4. El problema sigue abierto.
Edición 5. [Consiguiendo algunos avances] Considere la posibilidad de dos polinomios $$p_j(t):= \sum_{k=0}^{j} \binom{2j+1}{k+j+1} (-t)^k \ \, \text{and} \ \ q_j(t):=4^j \ (1-t)^{j}.$$
Para probar nuestra hipótesis, es suficiente para mostrar que $$ \color{red}{\int_0^1 t^{-1/2} \, p_j(t) \, dt = \int_0^1 t^{-1/2} \, q_j(t) \, dt} \tag{*}$$ desde $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{j} \binom{2j+1}{k+j+1} \ \frac{(-1)^k}{2k+1} & = \sum_{k=0}^{j} \binom{2j+1}{k+j+1} (-1)^k \int_0^1 \frac{1}{2} t^{k-1/2} \, dt \\ & = \frac{1}{2} \int_0^1 t^{-1/2} \, p_j(t) \, dt \, , \end{align} $$ y $$ \frac{1}{2} \int_0^1 t^{-1/2} \, q_j(t) \, dt= 2^{2j-1}\ B(j+1,\frac{1}{2}).$$ Creo que podemos utilizar la inducción , ya que para $j=1$, tenemos $$ \int_0^1 t^{-1/2} \, (3-t) \, dx = \int_0^1 t^{-1/2} \, 4(1-t) \, dt = 16/3.$$
