Buscar

Question

Encuentra $\lim_{n \to \infty} \left(n - \sum_{k=1} ^{n} \cos \frac{\sqrt{k}}{n} \right)$

Mi intento:

$\forall x: \ |\cos(x)|\leq 1$ , Por lo tanto:

PS

pero no puedo encontrar una manera de limitar el límite de modo que pueda demostrar que:

PS

lo que terminaría la prueba.

Answer 1

Utilizando la estimación $\cos(x)=1-\frac12\,x^2+O(x^4)$, obtenemos $$ \lim_{n\to\infty} \left(n-\sum_{k=1}^{n} \cos\frac{\sqrt{k}}{n} \right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left( 1-\cos\frac{\sqrt k}n\right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac k{2n^2} + O\Big(\frac{k^2}{n^4}\Big) \right). $$ La suma se divide en $$ \sum_{k=1}^n \frac k{2n^2} = \frac1{2n^2} \frac{n(n+1)}2 $$ la convergencia a la $\frac14$, y el resto término delimitada por $$ \frac1{n^4}\frac{n(n+1)(2n+1)}6 , $$ que converge a $0$. Por lo tanto, su límite original es $\frac14$.

Answer 2

Usted tiene $$u_n = n - \sum_{k=1} ^{n} \cos \frac{\sqrt{k}}{n} = \sum_{k=1} ^{n}\left(1-\cos \frac{\sqrt{k}}{n}\right)$$

Y como $\sum_{k=1} ^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$:

$$u_n - \frac{n+1}{4n} = \sum_{k=1} ^{n}\left(1-\cos \frac{\sqrt{k}}{n}-\frac{k}{2n^2}\right )$$

Y el uso del teorema de Taylor, se obtiene para todos los $x \in \mathbb R$

$$\left\vert 1-\cos(x)-x^2/2 \right\vert \leq x^4/24.$$

Por lo tanto $$\left\vert u_n - \frac{n+1}{4n} \right\vert \le \sum_{k=1} ^{n}\left\vert1-\cos \frac{\sqrt{k}}{n}-\frac{k}{4n^2}\right\vert \le \frac{1}{24n^4}\sum_{k=1} ^{n} k^2 \tag{1}$$

Como $$\sum_{k=1} ^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ the RHS of inequality $(1)$ converges to $0$.

Finalmente, $(u_n)$ converge a $1/4$ como $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n} =1/4$.