Ejercicio de examen en secuencia$a_n = \sin(n)$

Question

Demuestre que la secuencia$a_n = \sin(n)$ no puede converger cuando$n \rightarrow \infty $

Intenté encontrar dos subsecuencias que convergen a valores diferentes, pero tengo problemas con el hecho de que$n \in N$ y, por lo tanto, no puedo seleccionar valores en todo el dominio de la función.

Tal vez hay otra manera.

Answer 1

Si la secuencia converge, entonces también lo hace $\cos(n)$. Dicen límite de$a_n$$L$. A continuación, el límite de $\cos(n)$$\sqrt{1-L^2}$.

Ahora, si a_n converge, también lo $a_{2n}$ y para el mismo valor de $L$.

Pero $\sin(2n)=2\sin(n)\cos(n)$. Tomando límites que usted puede obtener el valor de $L$.

Ahora, fix $m$ y considerar la subsequence $a_{n+m}$. Esto también converge a $L$.

También tenemos $\sin(n+m)=\sin(n)cos(m)+\cos(n)\sin(m)$. Tomando límites de $n \rightarrow \infty$ obtenemos $L=L\cos(m)+\sqrt{1-L^2}\sin(m)$. Ahora derivar una contradicción.

(Usted también sería necesario que el hecho de que si $L$ existe, que no es cero, considerando que un gran $n$ donde $\sin(n)$ es distinto de cero y se apartó de $0$)