En una secuencia recursiva (ejercicio 8.9 Apostol)

Question

El ejercicio dice: mostrar la convergencia de la secuencia de ${a_n}$ saber que:

$$|a_n| \le 2, \ \ \ |a_{n+2}-a_{n+1}| \le \frac{1}{8}|a_{n+1}^2 - a_{n}^2|.$$

La solución estados:

$$|a_{n+2}-a_{n+1}| \le \frac{1}{8}|a_{n+1}^2 - a_{n}^2| = \frac{1}{8}|a_{n+1} - a_{n}||a_{n+1} + a_{n}| \le \frac{1}{2}|a_{n+1} - a_{n}| $$

desde $|a_n| \le 2$ sabemos que $|a_{n+1} - a_{n}| \le (\frac{1}{2})^{n-1}$ ...

Este último paso no es muy claro para mí, podría alguien que me lo explique.

Gracias de antemano

Answer 1

Desde $-2\leq a_n\leq 2$

$$|a_{n+2}-a_{n+1}| \le \frac{1}{8}|a_{n+1}^2 - a_{n}^2| = \frac{1}{8}|a_{n+1} - a_{n}||a_{n+1} + a_{n}| \leq \frac{1}{8}|a_{n+1} - a_{n}||4|= \frac{1}{2}|a_{n+1} - a_{n}| $$

A continuación, llame a $b_n=a_{n+1}-a_n$ y la reescritura de la anterior.