¿Por qué dos términos adyacentes "significa" multiplicar?

Question

Actualmente soy docente de matemáticas de GED de la clase. Mientras que el aprendizaje sobre el orden de las operaciones, los estudiantes le preguntó por qué no un número al lado de un paréntesis significa la multiplicación?

Entiendo que la regla de los dos términos de la siguiente para cada uno significa multiplicar los dos términos juntos, independientemente de lo que esos términos parecen. Pero, ¿este tipo de notación que ahora todos entendemos que provienen de la taquigrafía? O era más fácil de leer? O hay alguna otra razón por completo?

Cualquier idea que usted puede proporcionar será apreciado. Me ponía muy enojado con los maestros en mi vida, quien me explicó cosas por decir, porque esa es la manera que es. Si este es el caso, entonces por lo menos me gustaría poder decir que honestamente.

Answer 1

Me gustaría argumentar un caso de cómo se describe el uso de múltiplos de lenguaje natural. Cuando digo, "tengo tres cajas", no necesito otras palabras entre 'tres' y 'cajas'. Del mismo modo, "tengo tres $x$", dicho en otras palabras, se convierte, simplemente,$3x$.

Contraste esto con la adición: "yo tengo una manzana y dos naranjas". La " y " que separa a los objetos que están juntos, pero no son necesariamente de la misma forma. "Tengo una $x$ y dos $y$s" se convierte en $x+2y$.

Answer 2

Théophile la respuesta es muy intuitivo, pero lo que realmente está detrás de todo esto?

Yo creo que al final se llega a la precedencia de las operaciones. Dicen que usted tiene la expresión

$$2 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x$$

El significado de la expresión es:

Puede verse claramente que el $\cdot$ operación es la "más apretado" vínculo entre los operandos - así que si quieres clúster de los operandos, es decir, si desea guardar escrito por omitir algunos de los operadores, que claramente debe comenzar en el nivel inferior del árbol sintáctico. Así que usted escribe

$$2 x y + 3 x$$

Imagínense lo que pasaría si se intenta omitir la $+$ operador:

$$2 \cdot x \cdot y 3 \cdot x$$

Que lío la sintaxis completamente.

PS: el árbol de sintaxis se ha generado utilizando http://mshang.ca/syntree/

Answer 3

Otra cosa a tener en cuenta y que no se menciona es que el símbolo de la multiplicación $\times$ también pasa a parecerse mucho a la variable $x$, especialmente cuando escribirlos a mano. Es una de las razones $\cdot$ es a veces utilizado para la multiplicación así.

Answer 4

Mientras yo pienso que esta notación es mala¹, hay una muy convincente manera de pensar acerca de ello: un número que puede ser interpretado como un operador lineal. Esto es natural como un "caso base" de la forma en que escribimos lineal asignaciones $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ $m\times n$ matrices.

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¹Lo que realmente me gusta de la yuxtaposición de la multiplicación es la forma en que los enfrentamientos con el general (es decir, no lineal) de la función de la aplicación. Es muy natural para acortar $\sin(x)$ $\sin x$– después de todo, los paréntesis realmente no grupo nada! Sin embargo la gente se confundirá si usted escribe $f\: x$ a anotar $f(x)$ que un general de la función $f$, y posiblemente el error es algo así como la $f(x)\cdot x$; especialmente en la física, donde es común omitir el argumento de la función y se supone que voy a poner en la "costumbre" del símbolo.

Answer 5

Teophile la respuesta es excelente.

Me gustaría añadir que la multiplicación es el "natural" en una operación matemática, no la suma, como algunos podrían pensar. Un grupo de multiplicación, pero sin ninguna adición. Además se introdujo en los anillos, una vez que ya tenemos una multiplicación.

También, la función de concatenación es una multiplicación, y matemáticos como para escribir esto sin un operador (mirar por ejemplo, en el cálculo Lambda), a menos que hablar de la función de la aplicación. Pero incluso entonces, los matemáticos no necesita un símbolo adicional - nota cómo hay ningún símbolo en el lado derecho.

$$ (fg)(x) = f(g(x)) $$

(puede que más se utiliza para escribir $(fg)(x)$ $f\circ g(x)$ ($\circ$ aquí está la función de concatenación))