Irreductibilidad conservan bajo étale mapas?

Question

Yo recuerdo haber oído acerca de esta declaración una vez, pero no puedo recordar dónde o cuándo. Si es cierto que yo podría hacer buen uso de ella.

Deje $\pi: X \rightarrow Y$ ser un étale mapa de (irreductible) variedades algebraicas y deje $Z \subset Y$ ser una irreductible subvariedad.

De lo anterior se sigue que el $\pi^{-1}(Z)$ es irreducible? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿sabes que un contraejemplo?

Si es necesario, $X$ $Y$ puede ser superficies de más de $\mathbb{C}$, el mapa de $\pi$ de grado dos, y $Z$ un hyperplane sección (es decir, se define un muy amplio de la línea de paquete).

Gracias!

Edit: supongo que el de las variedades $X$ $Y$ a ser proyectiva.

Answer 1

Hmm...¿qué pasa con $\mathbb{A}^1 - 0 \rightarrow \mathbb{A}^1$ - 0, con a $z \mapsto z^2$? A continuación, la preimagen de 1 es $\pm 1$, que no es irreducible.