Utilice diferencias finitas para el BVP

Question

Utilice diferencias finitas para el BVP $u(x)''=\tan^{-1}(u(x))+2u(x)+\cos(x)$ con $u(0)=u(1)=0$.

No sé qué hacer con $\tan^{-1}(u(x))$. Cuando apliqué diferencias finitas, necesito tener el término $u(x)$ sin depender de la función para encontrar los coeficientes de la matriz.

Answer 1

Usando una discretización estándar de segundo orden de $u''(x)$ en una cuadrícula $0=x_0

Sea $\mathbf{u}=[u_1,u_2,\ldots,u_{N-1}]^\top$ el vector de incógnitas. (No se incluyen $u_0=u_N=0$, ya que su valor se determina por la condición límite... la misma razón por la que $j=0$ y $j=N$ no se incluyen en (*).) Podemos escribir (*) en la forma$$F(x) = 0, \tag{**}$$ donde $F : \mathbb{R}^{N-1} \to \mathbb{R}^{N-1}$, y el componente $j$ de $F$ es$$(F(x))_j := \frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2} - \arctan(u_j) - 2u_j - \cos(x_j).$$

¡Ahora podemos usar un solucionador no lineal! ¡Una solución aproximada de (**) (usando, por ejemplo, el método de Newton) nos dará una aproximación de la solución de (*)! Continuando con el ejemplo del método de Newton, necesitamos una suposición inicial $\mathbf{u}_0 \in \mathbb{R}^{N-1}$. Entonces, el esquema iterativo (para $\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots$) es resolver el sistema de ecuaciones lineales$$J(\mathbf{u}_n)(\mathbf{u}_{n+1} - \mathbf{u}_n) = -F(\mathbf{u}_n) \tag{***}$$ para $\mathbf{u}_{n+1}$ ¡En (***), $J$ es el Jacobiano de $F$ -- en otras palabras,$$J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial u_{N-1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_{N-1}}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_{N-1}}{\partial u_{N-1}} \end{bmatrix},$$ donde "$F_j$" es una abreviatura para $(F(x))_j$. Por ejemplo, dado que$$(F(x))_1 = \frac{u_2 - 2u_1}{h^2} - \arctan(u_1) - 2u_1 - \cos(x_1),$$ entonces los dos primeros elementos de la primera fila de $J$ serán diferentes de cero, mientras que los elementos restantes serán cero...$$J_{1,1} = -\dfrac{2}{h^2} - \dfrac{1}{1 + u_1^2} - 2, \qquad J_{1,2} = \dfrac{1}{h^2}, \qquad J_{1,k} = 0 \text{ for } 3 \leq k \leq N-1.$$