Deje $A$ ser un lineal de segundo orden diferencial operador con coeficientes constantes definidas en el valor real de las funciones de una variable. Supongamos que tenemos que por un superior de semicontinuo función $u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $$Au \leq 0\mbox{ holds in the viscosity sense.}$$ Let $u^{\epsilon}(x) = \int_{-1}^1u(x-\epsilon y)\varphi(y)\mbox{dy}$, where $\varphi$ is the standard mollifier. I would like to say that $$Au^{\epsilon}\leq 0\mbox{ in the classical sense}.$$
Estoy convencido de que esto debe ser cierto en este caso sencillo. He intentado un par de enfoques, pero como es a menudo el caso con la viscosidad de la teoría, el diablo está en los detalles, y me parece no puede escribir algo convincente. Es cualquiera que esté familiarizado con un teorema general a lo largo de las líneas de `mollification conserva sub-soluciones de lineal const. coef. pde"?
Intento de solución: supongamos que el contrario, que en algún punto de $x_0,$ tenemos $Au^{\epsilon}(x_0) > 0.$ Por la continuidad, podemos extender esto más estrictos de positividad en algunos vecindario $N$ $x_0.$ superior semi-continuidad, sé que $u-u^{\epsilon}$ va a alcanzar un máximo en el cierre de la $\overline{N}$. Si es un máximo local, que es genial, estoy hecho. Sin embargo, si no lo es, estoy buscando para construir otra función de prueba, decir $\psi$ tal que $A\psi \geq 0$ $u - u^{\epsilon} - \psi$ alcanza un máximo local en el interior de $N$. Claramente, $\psi$ tiene que dependen de alguna manera en la convergencia de $u^{\epsilon}$$u$. Pero, ¿cómo construir?
Edit: enunciado del problema ha sido modificada para decir coeficientes constantes. Gracias Willie Wong para señalarlo.
