Demostración para un dominio integral que implica subrings

Question

Teorema: si $R,S$ son dominios integrales, $R\subset S$ y donde $s_{1},...,s_{n}$ en $R_{S}$ . Entonces hay un $m\in \mathbb{N}$ y $t_{1},..., t_{m}$ en $S$ (no todos 0) para que $s_{i}N\subset N $ ( $i=1,...,n)$ donde $N=t_{1}R+...t_{m}R$

Ayer estuve enfermo y no pude asistir a la conferencia (donde se proyectó). ¿Alguien sabe dónde puedo encontrar una demostración de este teorema en Internet o en un libro? ¿O alguien sabe cómo demostrarlo y está dispuesto a escribirlo aquí? Muchas gracias.

Voy a publicar ahora la prueba que Milne da para otro Teorema pero que no consigo utilizar para el teorema de mi profesor:

Proposición 5.1. Sea A un subring de un anillo B. Un elemento $\alpha$ de B es integral sobre A si y sólo si existe un fiel (es decir, si $a M = 0 $ entonces esto implica $a=0$ ) $A[\alpha]$ submódulo M de B que se genera finitamente como un módulo A.

Prueba $\Rightarrow$ : Supongamos que $$\alpha ^{n} + a_{1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{n}=0 $$
Entonces el submódulo A M de B generado por $1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}$ tiene la propiedad de que $\alpha M \subset M$ y es fiel porque contiene 1 .
$\Leftarrow : $ Sea M un módulo A en B con un conjunto finito $\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ de generadores tal que $\alpha M \subset M $ es fiel como $A[\alpha]$ módulo. Entonces, para cada i $$\alpha e_{i} = \sum a_{ij}e_{j}; \text{ for some }a_{ij} \in A $$

Podemos reescribir este sistema de ecuaciones como : $$\begin{align*} (\alpha-a_{11}e_{1}-a_{12}e_{2}-a_{13}e_{3}-\cdots &=0\\ -a_{21}e_{1}+(\alpha - a_{22})e_{2}- a_{23}e_{3}- \cdots&= 0\\ \cdots &=0 \end{align*}$$
Sea $C$ sea la matriz de coeficientes del lado izquierdo. Entonces la fórmula de Cramers nos dice que $\det (C)e_{i}=0$ para todos $i$ . En $M$ es fiel y el $e_{i}$ generar $M$ esto implica que $\det(C)=0$ . Al expandir el determinante, obtenemos una ecuación:
$$\alpha^{n} + c_{1}\alpha^{n-1} + c_{2}\alpha^{n-2} + \cdots+ c_{n} = 0 ,\qquad c_{i} \in A$$

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A partir de esta demostración de la proposición, ¿alguien puede decirme la demostración del teorema del profesor?

Answer 1

Para pruebas como esta, creo que es bueno considerar una única $s_1 = s$ primero. Supongo que para usted $s \in S$ siendo integral sobre $R$ significa que (INT 1) $s$ es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en $R$ . Pero es equivalente a requerir (necesitamos otro adjetivo si $S$ no es un dominio) lo siguiente.

(INT 2) Existe una generación finita no nula de $R$ -submódulo $M$ de $S$ tal que $sM \subset M$ .

Espero que esté claro que (INT 2) es su declaración deseada para $n = 1$ . Su equivalencia es bien conocida y es, por ejemplo, la Proposición 5.1 de Apuntes de álgebra conmutativa de Milne . Demostrar que (INT 1) implica (INT 2), que es todo lo que necesitas, es la dirección más fácil: si $s$ satisface \[ s^k + r_{k - 1}s^{k - 1} + \cdots + r_1s + r_0 = 0 \] con $k \geq 1$ y cada $r_i \in R$ entonces $R[s]$ se genera como un $R$ -módulo por $1, \ldots, s^{k - 1}$ .

He aquí algunos preliminares para el caso general.

1. Demuestre que si $M_1, M_2$ son no nulos finitamente generados $R$ -submódulos de $S$ entonces también lo es \[ M_1M_2 = \{suma x_iy_i : x_i \en M_1, y_i \en M_2\}. \] En efecto, si $M_1$ es generado por $u_1, \ldots, u_r$ y $M_2$ es generado por $v_1, \ldots, v_s$ entonces el $rs$ elementos $\{u_iv_j\}$ generar $M_1M_2$ como $R$ -módulo.

2. Dado $s \in S$ demuestre que si $sM_1 \subset M_1$ entonces $sM_1M_2 \subset M_1M_2$ .

Por lo tanto, si utiliza (INT 2) para cada $s_i$ para obtener un módulo $M_i$ entonces $N = M_1 \cdots M_n$ hará todo lo que quieras.

Voy a probar el segundo ejercicio preliminar, sólo para demostrar que aquí no pasa nada espantoso. Creo que las pruebas son más limpias si usted nota que $M_1M_2$ se genera por productos, pero evitaré cualquier tipo de delicadeza. Supongamos que $sM_1 \subset M_1$ y que $\sum_{i = 1}^t x_iy_i$ con $x_i \in M_1$ y $y_i \in M_2$ sea un elemento de $M_1M_2$ . Si multiplicamos por $s$ obtenemos $\sum_{i = 1}^t (sx_i)y_i$ . En $sx_i \in sM_1 \subset M_1$ esta suma es un elemento de $M_1M_2$ .