Productos y co-productos en la categoría simplex

Question

Me pregunto si la categoría de $\Delta$ finito totalmente de conjuntos ordenados monotono y funciones ha binario de productos y co-productos. En particular, es el ordinal suma una categoría de subproducto y/o hay alguna comparables "ordinal producto"?

Answer 1

Reescrito completamente, mismas conclusiones.

Deje $\mathbf{TOrd}$ ser la categoría de totalmente de conjuntos ordenados con la monotonía de los mapas (mapas que $a\leq b\Rightarrow f(a)\leq f(b)$); deje $\mathbf{TOrd}_s$ b la categoría de totalmente de conjuntos ordenados estrictamente monótona mapas (mapas que $a\lt b \leftrightarrow f(a)\lt f(b)$); y deje $\mathbf{FTord}$ $\mathbf{FTord}_s$ a la totalidad de las subcategorías de finito totalmente de conjuntos ordenados. (La diferencia entre el $\mathbf{TOrd}$ $\mathbf{TOrd}_s$ es que en la primera podemos tener $a\lt b$$f(a)=f(b)$, mientras que en el segundo no podemos.

Teorema 1. Deje $\mathcal{C}$ ser cualquiera de $\mathbf{TOrd}$, $\mathbf{TOrd}_s$, $\mathbf{FTOrd}$, o $\mathbf{TOrd}_s$. Si $A$ $B$ cada uno tiene al menos dos elementos, entonces no hay ningún producto de $A$$B$$\mathcal{C}$.

Prueba. Suponga que $A$ $B$ están totalmente de conjuntos ordenados, y cada uno tiene al menos dos elementos. Vamos $a_1,a_2\in A$, $a_1\lt a_2$; y deje $b_1,b_2\in B$,$b_1\lt b_2$. Considerar los mapas desde el singleton totalmente conjunto ordenado $S=\{\bullet\}$ $A$ $B$dada por $f_A\colon S\to A$, $f_B\colon S\to A$, $f_A(\bullet)=a_2$, $f_B(\bullet)=b_1$; y $g_A\colon S\to A$, $g_B\colon S\to B$ dada por $g_A(\bullet)=a_1$, $g_B(\bullet)=b_2$.

Si hay un conjunto totalmente ordenado $X$ con la monotonía de los mapas $p_A\colon X\to A$ $p_B\colon X\to B$ tanto $f_A,f_B$ $g_A,g_B$ factores a través de $(X,p_A,p_B)$ a través de mapas $F,G\colon S\to X$, a continuación, tenga en cuenta que desde $p_A(F(\bullet))=a_2\gt a_1= p_A(G(\bullet))$, debemos tener $F(\bullet)\gt G(\bullet)$. Pero entonces debemos tener $b_1 = p_B(F(\bullet)) \gt p_B(G(\bullet))=b_2$, contradiciendo la elección de $b_1$$b_2$. Por lo tanto, no $X$ existe, y por lo tanto no hay ningún producto de $A$ $B$ en $\mathcal{C}$. $\Box$

Teorema 2. Deje $\mathcal{C}$ ser cualquiera de $\mathbf{TOrd}$, $\mathbf{TOrd}_s$, $\mathbf{FTOrd}$, o $\mathbf{TOrd}_s$. Si $A$ $B$ cada uno tiene al menos un elemento de cada uno, entonces no hay ningún subproducto de $A$$B$$\mathcal{C}$.

Prueba. Deje $X = \{1\}\times A\cup \{2\}\times B\cup \{3\}\times A$; el fin de $X$ lexicográficamente; es decir, $(i,x)\leq (j,y)$ si y sólo si $i\lt j$ o$i=j$$x\leq y$. Deje $f_1,f_3\colon A\to X$ ser dado por $f_i(a) = (i,a)$, y deje $g\colon B\to X$ ser dado por $g(b)=(2,b)$.

Si hay un objeto $C$ $\mathcal{C}$ y mapas de $\iota_A\colon A\to C$ $\iota_B\colon B\to C$ tanto $f_1,g$ $f_3,g$ factor a través de $(C,\iota_A,\iota_B)$, entonces no existen mapas de $F_1\colon C\to X$ $F_3\colon C\to X$ tal que $f_1=F_1\circ\iota_A$, $f_3=F_3\circ\iota_A$, y $g=F_1\circ\iota_B = F_3\circ\iota_B$. Deje $a\in A$$b\in B$. Desde $f_1(a)\lt g(b)$,$\iota_A(a)\lt iota_B(b)$; pero desde $g(b)\lt f_3(a)$, debemos tener $\iota_B(b)\lt \iota_A(a)$. Esto es imposible, así que no hay tal objeto $C$ existe. Es decir, $A$ $B$ no tienen un subproducto en $\mathcal{C}$. $\Box$

Para el resto de los casos, tenemos:

Teorema 3. Deje $\mathcal{C}$ $\mathbf{TOrd}$ o $\mathbf{FTOrd}$.

1. Si $A$ es un singleton, y $B$ es arbitrario, entonces $(B,p_A,\mathrm{id}_B)$ es un producto de $A$ $B$ $\mathcal{C}$ donde $p_A\colon B\to A$ es el único mapa de$B$$A$.
2. Si $A$ está vacía, y $B$ es arbitrario, entonces $(A,\mathrm{id}_A,n)$ es un producto de $A$ $B$ $\mathcal{C}$ donde $n$ es el mapa vacío con el dominio $A$ y codominio $b$.

Prueba.

1. Deje $X$ ser cualquier objeto de $\mathcal{C}$, y deje $f\colon X\to A$ $g\colon X\to B$ mapas. A continuación, los mapas factor de forma exclusiva a través de $B$ través $f$, lo $(B,p_A,\mathrm{iid}_B)$ es un producto de $A$$B$.

2. Deje $X$ ser un objeto de $\mathcal{C}$ $f\colon X\to A$ $g\colon X\to B$ mapas; desde $A$ está vacía, entonces $X$ debe estar vacío, por lo que el único mapa $X\to A$ muestra que $(A,\mathrm{id}_A,n)$ ha deseado universal de los bienes. $\Box$

Teorema 4. Deje $\mathcal{C}$ $\mathbf{TOrd}_s$ o $\mathbf{FTOrd}_s$.

1. Si $A$ es un singleton y $B$ no está vacío y no un singleton, entonces no hay ningún producto de $A$$B$$\mathcal{C}$.
2. Si $A$ $B$ ambos son los únicos, a continuación, $(A,\mathrm{id}_A,p)$ es un producto de $A$ $B$ donde $p$ es el único mapa $p\colon A\to B$.
3. Si $A$ está vacía, y $B$ es arbitrario, entonces $(A,\mathrm{id}_A,n)$ es un producto de $A$ $B$ $\mathcal{C}$ donde $n\colon A\to B$ es el mapa vacío.

Prueba.

1. Desde que los mapas en $\mathcal{C}$ debe ser uno-a-uno, un producto de $A$ $B$ debe estar vacío o un singleton (de lo contrario, no hay mapas en $A$). Pero, a continuación,$p_B(C)\neq B$; dejando $S=\{\bullet\}$ ser un singleton, vamos a $b\in B-p_B(C)$; el par $(f,g)$ donde $f\colon S\to A$ es el único mapa entre los embarazos únicos y $g\colon S\to B$ $g(\bullet)=b$ no factor a través de $(C,p_A,p_B)$. Por lo $A$ $B$ no tiene un producto en $\mathcal{C}$.

2. Los únicos objetos que se pueden asignar a $A$ $B$ son los emptyset y los embarazos únicos, y los mapas claramente factor a través de $(A,\mathrm{id}_A,p)$.

3. El único objeto que se puede asignar a $A$ es el conjunto vacío. $\Box$

Teorema 5. Deje $\mathcal{C}$ ser $\mathbf{TOrd}$, $\mathbf{FTOrd}$, $\mathbf{TOrd}_s$, o $\mathbf{FTOrd}_s$. Si $A$ está vacía y $B$ es arbitrario, entonces $(B,n,\mathrm{id}_B)$ es un subproducto de $A$ $B$ donde $n\colon A\to B$ es el mapa vacío.

Prueba. Deje $X$ ser un objeto de $\mathcal{C}$, $f\colon A\to X$, y $g\colon B\to X$. A continuación, $f$ debe ser el mapa vacío, por lo $f$ $g$ factor de forma exclusiva a través de $(B,n,\mathrm{id}_B)$. Por lo tanto, este es un subproducto de $A$ y $B$. $\Box$