La existencia de puntos críticos de $f:\mathbb{C} -\{0,1\}\to \mathbb{R}$

Question

Estoy tratando de mostrar que una suave, adecuada mapa, $f:\mathbb{C} -\{0,1\}\to \mathbb{R}$ tiene un punto crítico.

Mi intento fue para suponer que no existen puntos críticos, a continuación, la preimagen de cada punto es un integrado 1-colector en $\mathbb{C}-\{0,1\}$. Desde un punto de es compacto, la preimagen es compacto. El único compacto 1-colector es el círculo. Así pues, tenemos una foliación de $f:\mathbb{C}-\{0,1\}$ por círculos.

Esto es lo más lejos que tengo que hacer. He estado tratando de mostrar que una foliación es imposible, pero no puedo llegar a ninguna parte. Ni siquiera estoy seguro de que es imposible..

Voy en la dirección correcta? Me puedes ayudar a terminar la prueba.

Yo también estoy interesado en otras formas de demostrar esto.

Gracias

Answer 1

En cada uno de los puntos de $0,1,\infty$ la función tiende a $+\infty$ o a $-\infty$. Si el límite es $+\infty$ en los tres puntos, a continuación, $f$ tiene un mínimo; si es $-\infty$ en los tres puntos, a continuación, $f$ tiene un máximo.

El otro caso es cuando tienen límites de ambos signos. Reordenando los puntos (con una transformación de Möbius) podemos asegurarnos de que la $f\to-\infty$$0,1$$f\to +\infty$$\infty$.

Deje $\Gamma_t=\{f=t\}$, que es una unión de los círculos suaves. Cada círculo debe contener al menos uno de los puntos de $\{0,1\}$, de lo contrario, no sería un extremo en el interior. Dos observaciones:

1. Al $t $ es mayor que el máximo de $f$ en una curva que conecta $0$$1$, la $\Gamma_t$ se conecta desde ambos $0$ $1$ están dentro de un mismo componente.
2. Al $t$ es menor que el mínimo de $f$ en algunos cerrada curva de la separación de $0$$1$, la $\Gamma_t$ está desconectado.

Queda para amplificar las observaciones anteriores con una especie de estabilidad declaración.

1. El conjunto $\{t : \Gamma_t \text{ connected}\}$ está abierto. De hecho, dado $t$ en este conjunto, podemos conectar $0$ $1$por una curva de $\gamma$ no cruzar $\Gamma_t$. En esta curva, el máximo de $f$ es estrictamente menor que $t$. Por lo tanto, la disminución de la $t$, ligeramente mantiene a $\Gamma_t$ disjunta de a $\gamma$, por lo tanto permanece conectado.

2. El conjunto $\{t : \Gamma_t \text{ not connected}\}$ también está abierto. De hecho, dado $t$ en este conjunto, podemos separar dos componentes por una curva cerrada $\gamma$. En esta curva, el mínimo de $f$ es estrictamente mayor que $t$. Por lo tanto, el aumento de $t$, ligeramente mantiene a $\Gamma_t$ disjunta de a $\gamma$, por lo tanto permanece desconectado.

Contradicción.