En Serre Local de Campos da varios ejemplos de campos con trivial grupo de Brauer. Sin embargo, todos estos ejemplos son $C_1$ o conjetura que es $C_1$. Hay un ejemplo de un campo que no es $C_1$ , pero tiene un trivial Brauer grupo?
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nguyen quang do
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En Serre "Galois Cohomology" II-3 , un campo de $k$ se dice que la dimensión " $1$", $dim(k)\le 1$ para el corto, iff $Br(K)=0$ para todas las extensiones algebraicas $K/k$. Si por otra parte $k$ es perfecto, a continuación, $dim(k)\le 1$ fib $k$ ha cohomological dimensión $1$ (es decir, $cd(G_k)\le 1$). Además, si $k$ es $C_1$, a continuación, $dim(k)\le 1$ e $[k:k^p]=1$ o $p$ @; esto implica que una perfecta $k$ que es $C_1$ tiene dimensión $1$. Serre también frecuentes (más dudosamente) si las dos propiedades declaró en @ son equivalentes, pero pronto después de una contra-ejemplo fue dado por Ax (1965), que incluso construyó un campo de $k$ de la dimensión de $1$ que no es $C_r$ para todos los $r$ (ver referencia en [TC]).
Más recientemente (2005), Colliot-Thélène [CT] regresó a la pregunta "coh. dim. $1$ vs $C_1$", y lo demostró en particular, a partir de un campo de característica $\neq p$ y el uso de Severi-Brauer variedades, cómo construir sistemáticamente una extensión de $F/k$ s.t. $G_F$ es un pro-$p$- $cd(G_F)\le 1$.
[CT] J.-L. Colliot-thélène, Campos de cohomological dimensión $1$ versus $C_1$-campos, arXiv:matemáticas/0502194
