¿Por qué es más probable que el plomo 0 o 40 veces, en lugar de 20 en este ejemplo?

Question

(https://www.dartmouth.edu/~oportunidad/teaching_aids/books_articles/probability_book/amsbook.mac.pdf) (esta pregunta viene de aquí la página 6)

"San pedro y san Pablo jugar a un juego llamado a cara o cruz. En este juego, una feria de la moneda es lanzada una secuencia de veces-40. Cada vez que un jefe viene Pedro gana 1 centavo de Pablo, y cada vez que la cola llega hasta Pedro pierde 1 centavo a Pablo. Adoptamos la convención de que, cuando Pedro ganancias son 0, está en el plomo si fue un adelantado en el anterior sorteo y no se si fue por detrás en el anterior sorteo. Con este convenio, Pedro está en el plomo 34 veces en nuestro ejemplo. De nuevo, nuestra intuición podría sugerir que lo más probable número de veces para estar a la cabeza de 1/2 de 40 o 20, y el menos probable de los números son los casos extremos de 40 o 0. Nuestra intuición acerca de Peter final de ganancias era muy correcto, pero nuestra intuición acerca de el número de veces que Pedro estaba a la cabeza estaba completamente equivocado. La simulación sugiere que el menos probable número de veces en que el plomo es de 20 y la más probable es de 0 o 40. Este es de hecho correcta, y la explicación es sugerido por jugar el juego de cara o cruz con un gran número de lanzamientos y mirando un gráfico de Pedro ganancias. En la Figura 1.4 se muestran los resultados de una simulación del juego, para 1000 tiros y en la Figura 1.5 por 10.000 lanzamientos"

figura1.4

Answer 1

La intuición de que el 20 debe ser el resultado más probable es probablemente relacionados con la falacia del Apostador.

Se puede sentir intuitivo, o más justo, que después de Pedro gana el primer sorteo (digamos) las probabilidades deben recurrir a Paul favor e igualar el marcador. En realidad, una vez que un jugador tiene una ventaja, la expectativa es que se mantenga el plomo, el hecho de que Pedro ganado más veces en el pasado es irrelevante.

Answer 2

El resultado esencial es llamado el Arcoseno de la Ley, para que @user462110 le da un buen intuitiva justificación (+1). Feller la famosa probabilidad el libro tiene una prueba, lo que en esta página se analizan en detalle.

Aproximadamente declaró el Arcoseno de la Ley se dice que, en lo suficientemente grande número de $n$ de las jugadas, la proporción del tiempo en que Pedro está por delante es aproximadamente el $\mathsf{Beta}(.5,.5).$ El nombre de 'el Arcoseno de la Ley' surge porque la CDF de esta distribución beta contiene una función arcoseno.

Por debajo es una simulación para $n = 200,$ que es lo suficientemente grande para un histograma de la proporción de tiempo en que Pedro está por delante para dar un buen ajuste para el PDF (curva roja de abajo) de $\mathsf{Beta}(.5,.5).$ sin Duda, lo que dice es cierto para $n = 40$ (la baja de reciclaje del histograma está centrado en 0,5), sino $n = 200$ hace una mejor gráfica.

El programa R a continuación simula un millón 200 sacudida de juegos. Cada juego comienza con un vector ht de 200 lanzar una moneda. El vector x encuentra Pedro acumulativa 'fortuna' después de cada lanzamiento, y el retrasado de vectores xp muestra su fortuna en el anterior sorteo con el fin de implementar la convención sobre el ser por delante o por detrás de si una $0$ fortuna se produce. Finalmente, la cantidad ahead muestra la proporción de lanzamientos en el que Pedro estaba a la cabeza en el $i$juego de th.

m = 10^6;  ahead= numeric(m);  n = 200
for(i in 1:m) {
  ht = sample(c(-1,1), n, repl=T)
  x = cumsum(ht); xp = c(0,x[1:(n-1)])
  ahead[i] = mean(sign(x+xp)>0) }
mean(ahead);  sd(ahead)
## 0.5000942  # aprx mean of BETA(.5,.5)
## 0.3552423  # aprx SD

hist(ahead, prob=T, col="skyblue2")
curve(dbeta(x,.5,.5), lwd=2, col="red", add=T)