El Kolakoski secuencia $1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, ... $es un ejemplo de lo que la gente llama un auto-secuencia de lectura: ${a_n}$ se define como la secuencia de $1's$ e $2's$ cuyo primer término es $1$, y la posterior de cada término es la longitud de la enésima ejecutar (o dos). En más detalle,
secuencia $1,~~~~~~ 2,2,~~~~~~1,1,~~~~~~ 2,~~~~~~1,~~~~~~ 2,2,~~~~~~ 1,~~~~~~ 2,2, ...$
la longitud de ejecución $1 ~~~~~~2~~~~~~~~~~~~ 2 ~~~~~~~~~~~~ 1~~~~~~~~ 1~~~~~~~~~~ 2 ~~~~~~~~~ 1~~~~~~~~~~~ 2$
Empezar con $a_1 = 1$. La regla dice que la primera ejecución (que es una sola $1$) tiene una longitud de $1$. Por lo tanto $a_2$ deben ser diferentes, así que $a_2 = 2$. La segunda carrera por lo tanto, tiene una longitud de $2$, lo que obliga a que el tercer término, $a_3$, para ser un dos también. Esto completa la segunda, para la tercera carrera comienza con $1$; ya que su longitud es $2$ tenemos $a_4 = 1$ e $a_5 = 1$. La cuarta y la quinta son las pistas, en consecuencia, el singleton $2$ entonces $1$. Y así sucesivamente.
Demostrar que $x=0,122112122122...$ es irracional
Tengo la solución, pero yo no lo entiendo.
El problema se reduce a demostrar que Kolakoski secuencia no es periódica.
Vamos a asumir por el bien de la contradicción que la secuencia es periódica , y deje $u_n$ ser el n-ésimo término de la secuencia.
Que la secuencia es periódica significa que existe un período de $t$ tal que $u_{n+t}=u_n$ , sea t el número más pequeño que satisface esta propiedad.
Deje $a$ (resp b) el número de $i$ ($0\le i \le t)$ suhthat $u_i=1$ (resp $u_i=2$), es obvio que tenemos $a+b=t$ . Por la definición de la secuencia , $a+2b$ también es un período de la secuencia , por lo tanto $a+b$ divide $a+2b$ porque $a+b$ es el más pequeño período , por lo $a=0$ o $b=0$ lo cual es imposible .
por lo $x$ es irracional
lo que yo no entiendo es por qué $a+2b$ también es un período de la secuencia.
