Número óptimo de respuestas para una prueba con mal-respuesta pena

Question

Supongamos que usted tiene que tomar un examen de diez preguntas, cada una con cuatro opciones diferentes (no hay respuestas múltiples), y un mal-respuesta de la pena de la mitad de una respuesta correcta. Preguntas en blanco no cuenta ni positivamente ni negativamente.

Suponiendo que usted no ha estudiado especialmente duro este tiempo, ¿cuál es el número óptimo de preguntas para intentar responder a las probabilidades de aprobar el examen (al menos cinco puntos).

Answer 1

Vamos a trabajar todo el camino a través. Supongamos que la respuesta $n$ preguntas. Deje $X$ ser el número que se obtiene correcta. Asumiendo $\frac{1}{4}$ de probabilidad de obtener una respuesta correcta, $X$ es binomial$(n,1/4)$. Deje $Y$ el puntaje en el examen, incluyendo la pena. A continuación,$Y = X - \frac{1}{2}(n-X) = \frac{3}{2}X-\frac{1}{2}n$. Para maximizar la probabilidad de aprobar el examen, usted desea elegir el valor de $n$ que maximiza $P(Y \geq 5)$. Esta probabilidad es $$P\left(\frac{3}{2}X - \frac{n}{2} \geq 5\right) \Longleftrightarrow P\left(X \geq \frac{10+n}{3}\right) = \sum_{k = \lceil(10+n)/3\rceil}^n \binom{n}{k} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{n-k}$$ $$ = \left(\frac{3}{4}\right)^n \sum_{k =\lceil(10+n)/3\rceil}^n \binom{n}{k} \frac{1}{3^k}.$$ Esto puede ser calculado de forma rápida para los posibles valores de $n$. Puedo obtener, a través de Mathematica,

5   0.000976563
6   0.000244141
7   0.00134277
8   0.00422668
9   0.00134277
10  0.00350571

Así maximizar su probabilidad de pasar por responder a ocho preguntas.

Answer 2

Si la respuesta 5, que necesita de todos ellos a la derecha, por lo que su oportunidad (asumiendo $\frac{1}{4}$ de probabilidad de una respuesta correcta) es $(\frac{1}{4})^5=\frac{1}{1024}$. Si la respuesta 7, se necesitan al menos 6 a la derecha, con la posibilidad de $\binom {7}{6}(\frac{1}{4})^6\frac{3}{4}+(\frac{1}{4})^7$, lo que hago es acerca de $\frac{1}{745}$. Usted puede hacer tratando de 9, pero creo que estás en un mundo de dolor.

Answer 3

Digamos que usted tiene una probabilidad de $p$ de conseguir la respuesta correcta a cada pregunta. Entonces si la respuesta $n$ de las preguntas, el número que conteste correctamente se distribuye como una variable aleatoria binomial $X\sim B(n,p)$.

Su puntaje en el examen, $Y$, está relacionado con este. Usted puntuación de 1 por cada respuesta correcta y perder 1/2 para cada respuesta incorrecta, lo que significa que

$$Y = X - \tfrac{1}{2}(n-X) = \tfrac{1}{2}(3X-n)$$

You are asking for the probability that $Y\geq 5$, which reduces to

$$\begin{align} P(Y\geq 5) & = P\left(\frac{3X-n}{2} \geq 5\right) \\ & = P\left(X \geq \frac{10+n}{3}\right) \end{align}$$

Esta probabilidad se puede calcular fácilmente a partir de la densidad binomial, o (engaño), utilizando el siguiente código R:

> f <- function(n,p) {pbinom((10+n)/3 - 0.001, n, p, lower.tail=FALSE)}
> plot(0:10, f(0:10, 0.25), type='l')

que genera este gráfico, a partir de la cual se puede ver que usted debe responder a ocho preguntas:

[subir imagen no trabajo por el momento, voy a volver y editar la imagen en adelante]