Mostrar que $\gcd(a, 0)$ existe y es igual a $|a|$ todos los $a$ $\mathbb Z$

Question

Se me ocurrió la prueba en el siguiente párrafo. Mi pregunta es sobre la forma en que se expresa la prueba, y acerca de la primera parte de la pregunta anterior.

Para uno, mi prueba me parece muy prolijo en comparación con las pruebas en mi libro de texto o mostrado por mis profesores, por lo que agradecería comentarios sobre cómo expresarlo de una manera más formal. También, no he demostrado que $d$ (donde $d = \gcd(a, 0)$) existe y no veo cómo me gustaría hacerlo.

PRUEBA: Supongamos $d = \gcd(a, 0)$, donde $d$ es un número entero. A continuación, $d \mid a$ e $d \mid 0$. Como cada entero se divide $0$, $d$ será el mayor divisor de $a$. El mayor divisor de cualquier número entero es en sí mismo. Sin embargo, $a$ puede ser negativo y $d$, por definición, es mayor o igual que cero, por lo $d = |a|$.

Agradezco cualquier respuesta. Gracias!

Answer 1

Usted está en el camino correcto! El cero es verdadero, pero el mcd no es, por definición, no negativo (mayor o igual a 0.) Desde el mcd es, también, el mayor número que divide a ambos, tenga en cuenta todos los divisores de cada uno. He aquí cómo yo probaría:

Desde cualquier número distinto de cero divide a 0, los divisores de 0 se $ ..., -2, -1, 1, 2, ..., a-1, a, a+1, ... $.

Y $a$ tendrá un número de divisores, pero es más grande ser $|a|$, desde el $|a|$ divide $a$, y algo mayor que $|a|$ posiblemente no se puede dividir $a$.

Por lo tanto, el número más grande que divide a ambos es sólo el número más grande que divide $a$, que es $|a|$.

Answer 2

Para lo que vale, me gustaría reformular de la siguiente manera:

Supongamos $d = \gcd(a, 0)$, donde $d$ es un número entero y $a$ es un entero positivo. A continuación, $d \mid a$ e $d \mid 0$. Como cada número entero distinto de cero divide $0$, $d$ será el mayor divisor de $a$. El mayor divisor de cualquier número entero positivo es que el número entero positivo de sí mismo, y por lo $d = a$. Dado que $\gcd(a, -a) = |a|$, se deduce que, si $a$ es permitido ser negativa, $d = |a|$.

Bueno, por lo que tiene un mayor número de palabras de lo que escribió, pero esperamos que sea más claro.

Yo no soy un profesor de matemáticas ni de cualquier tipo de profesional matemático, así que siéntase libre de tomar esto con un grano de sal.

Answer 3

Usted puede utilizar el Bezout relacionados con la definición de la gcd:

La comprensión de la Existencia y Unicidad de la GCD

$$\gcd(a,b)=\min\,\{au+bv\mid au+bv > 0,\, (u,v)\in \mathbb Z^2\}$$

Para $b=0$ (para $a\neq 0$)

$\gcd(a,0)=\min\,\{au\mid au>0,\, u\in \mathbb Z\}$ , y está claro que $u=\pm 1=\operatorname{sgn}(a)$

Haciendo $\gcd(a,0)=|a|$ como resultado.

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Para ir más allá, hay factorial de los anillos, donde la noción de signo (positividad o negatividad) no está definida (pensar acerca de los complejos, por ejemplo).

En este caso, el mcd es definido abajo a una multiplicación por una unidad, donde las unidades son todos los divisores de a$1$.

Así que es sólo una convención para los números enteros que tomamos $d>0$.

Answer 4

Depende de lo que es la definición de máximo común divisor de utilizar. Sin embargo, su intento de realizar una prueba de que no es bueno, porque no prueban nada en absoluto.

Si su definición es

el máximo común divisor de los enteros $a$ e $b$, no ambos cero, es el entero más grande $d$ tal que $d\mid a$ e $d\mid b$

a continuación, la prueba de que $|a|=\gcd(a,0)$, $a\ne0$, es muy simple: $|a|$ es un divisor de a$a$ e $0$. Si $d$ es un divisor de a$a$, a continuación, $d\le |a|$: de hecho, si $d$ divide $a$, a continuación, $a=cd$, lo $|a|=|c|\,|d|\ge|d|$, debido a $|c|\ge1$, y por lo tanto $d\le|d|\le|a|$.

Si su definición es

el máximo común divisor de los enteros $a$ e $b$ es un entero no negativo $d$ tales que

1. $d\mid a$ e $d\mid b$;
2. para cada entero $c$si $c\mid a$ e $c\mid b$, a continuación, $c\mid d$

a continuación, la declaración de que $|a|=\gcd(a,0)$ es obvia.

Tenga en cuenta que la primera definición requiere que $a$ e $b$ no son ambos cero, mientras que para la segunda definición, la condición no es necesaria.

Answer 5

Corrrect, $\ d\mid a,0\iff d\mid a,\ $ lo $\ \gcd(a,0) = \gcd(a) =$ ${\rm greatest\_divisor}(a) = |a|,\,$ para $a\neq 0$.

Comentario $ $ Este es un caso especial $\,b=0\,$ de

$$\,a\mid b\,\Rightarrow\,\gcd(a,b,c,\ldots) = \gcd(a,c,\ldots)$$

que es un caso especial de: $\ \gcd(a,b,c,\ldots)\, =\, \gcd(a,\, b\bmod a,\, c\bmod a,\ldots)$

es decir, gcds se mantuvo sin cambios por el modding otras mcd args por cualquier arg - un hecho familiar a partir de la distancia Euclídea mcd algoritmo. Usted puede encontrar instructivo para probar estos más general de los resultados (la prueba es similar y sólo un poco más difícil).