Una cadena infinita de teorías

Question

Deje $\sf X$ ser una teoría más fuerte en alguna forma de $\sf ZFC$.

En la teoría de la $\sf X$, usted podría ser capaz de demostrar $con(\sf ZFC)$

Ahora, vamos a $\sf Y$ ser una teoría más fuerte de alguna manera o forma de la teoría de la $X$.

En la teoría de la $\sf Y$, usted podría ser capaz de demostrar $con(\sf X)$

Ahora, vamos a la teoría de la $\sf N$ ser cierta la teoría de que de alguna manera es "infinitamente más fuerte" que todas las otras teorías.

Mi pregunta es que:

• En este caso, es posible demostrar $con(\sf N)$?

• Es allí una manera más formal para describir esta cadena de teorías? Y si es así, que la teoría de la $\sf N$ ser capaz de demostrar $con(\sf N-1)$ donde $\sf N-1$ es una teoría que es $1 \space unit$ menos de $\sf N$, suponiendo que hemos definido formalmente lo que es una "unidad" es en el caso?

Answer 1

Bien, ¿dónde quieres "probar $\operatorname{Con}(\mathsf N)$"?

Si $\sf N$ satisface las condiciones del teorema de la incompletitud de Gödel, a continuación, $\sf N$ no puede probar su propia consistencia. Período. Fin de la historia. Por otro lado, podemos ver que a partir de la asunción", No existe un modelo transitivo de $\sf ZFC$" podemos probar la consistencia de $\sf ZFC+\operatorname{Con}^n(ZFC)$ todos los $n$, y más. Así que usted puede encontrar $\sf N$ y probar la consistencia de los mismos.

Por otro lado, trabajando en $\sf PA$, todavía podemos hablar de $\sf ZFC$ y una cadena infinita de teorías más fuerte (simplemente tome $T_0=\sf ZFC$$T_{n+1}=T+\operatorname{Con}(T_n)$, $T=\bigcup_n T_n$ es perfectamente recursiva de la teoría). Pero no obstante, $\sf PA$ ni siquiera puede demostrar que $\sf ZFC$ es consistente, por no hablar de los más fuertes de la teoría.

Así que, de nuevo, el problema es que las pruebas no viven en el vacío. Las pruebas son que nace de las teorías. Y a menos que usted nos diga lo que es la teoría en la que estás trabajando, no podemos decirle a usted si usted puede probar la consistencia de $\sf N$.

Finalmente, usted podría-y debería---describir estas teorías como la más fuerte en el sentido de que cada teoría demuestra la consistencia de la anterior. Pero eso es más o menos todo lo que podemos decir aquí. Ten en cuenta que es posible demostrar la consistencia de $T$ en una teoría de la $T'$, que no es más fuerte que $T$, en el sentido de que mientras que $T'$ demuestra la consistencia de $T$, no probar todas las declaraciones de $T$. Por ejemplo, la consistencia de $\sf ZFC$ puede ser probado en $\sf PA+\operatorname{Con}(ZFC)$. O $\sf PA$ puede ser demostrado coherente de $\sf PRA+\operatorname{Con}(PA)$. Así que, de nuevo, esto se convierte en un tema tan delicado a tener en cuenta.

Answer 2

Este fenómeno ha sido bien estudiado, al menos para la aritmética, pero los resultados deben extender a ZFC y teorías similares.

Se puede iterar en el transfinito el proceso de pasar de una teoría de la $T$ a la teoría de la $T + \operatorname{Con}(T),$ el uso de notaciones para recursiva ordinales (y los sindicatos en el límite de las etapas).

La construcción tiene niveles que iban hasta (pero sin incluir) $\omega_1^{CK},$ al menos de forma no recursiva ordinal (la Iglesia-Kleene $\omega_1).$

Toda la situación es bastante complicada, porque la teoría que corresponde a una determinada notación para un recursiva ordinal generalmente depende de la notación elegida, no sólo en el ordinal. (La cuestión es que en un límite de la etapa de $\lambda,$ la teoría de que obtenga dependerá de la particular cofinal $\omega$-secuencia a través de $\lambda$ que utiliza, y en las anotaciones elegido por los miembros de ese $\omega$-secuencia.)

Sorprendentemente, usted puede encontrar una relación de recurrencia para la progresión de las teorías a través de Kleene $\mathscr{O}$ (el conjunto de todas las anotaciones para recursiva ordinales), junto con una ruta de acceso a través de $\mathscr{O}$ que sí es recursiva en $\mathscr{O},$ tales que la unión de las teorías a lo largo de esta ruta es la verdad de primer orden de la aritmética.

Por otro lado, también hay una amplia colección de rutas a través de $\mathscr{O}$ tales que la unión de las teorías que a lo largo de la ruta de acceso es incompleta con respecto incluso a $\Pi^0_1$ frases de la aritmética.

El de arriba es todo para las teorías de la aritmética, pero creo que todo se debe trabajar para ZFC y teorías similares, en términos de pedir que las sentencias de la verdadera aritmética de las teorías son capaces de demostrar. (Recordar que la sentencia de $\operatorname{Con}(T),$ donde T es una forma recursiva teoría presentada, sí es una frase de la aritmética.)

Referencias:

Alan Turing, Sistemas de Lógica en función de los números Ordinales, Tel. D. tesis (Princeton Univ.), 1938, que creo que puede ser encontrado en: Andrew W. Appel, ed., Alan Turing en los Sistemas de Lógica: La de Princeton Tesis, Princeton University Press, 2012.

S. Feferman, Transfinito Recursiva Progresiones de Axiomático de las Teorías, Revista de la Lógica Simbólica, Vol. 27, Nº 3 (Sept. 1962), pp 259-316, dirección URL: http://www.jstor.org/stable/2964649 en JSTOR.

S. Feferman y C. Spector, lo Incompleto a lo Largo de las Rutas en las Progresiones de Teorías, Revista de la Lógica Simbólica, Vol. 27, Nº 4, (Dic., 1962), pp 383-390, dirección URL: http://www.jstor.org/stable/2964544 en JSTOR.

Answer 3

Un poco más formal manera de describirlo sería decir que $T_0=\textrm {ZFC}$, $T_{n+1}=T_n\cup \{\operatorname{Con}(T_n)\}$, mientras que $T_\omega=\bigcup_{n\in \omega} T_n$ (lo que usted llama ${\sf N}$).

Ingenuamente se podría pensar que desde $T_\omega$ contiene $\operatorname{Con}(T_n)$ por cada $n$, esto implicaría que no hay un número finito de instrucciones en cualquier $T_n$ son contradictorias, y que, por ende, $T_\omega$ sí no es contradictorio, por compacidad, que por el teorema de la incompletitud implicaría que $T_\omega$ es contradictorio, y por lo tanto (por la compacidad) algunas de las $T_n$ ya es contradictorio.

El mismo razonamiento se puede realizar si usted toma $T_0=\textrm{PA}$, y (si usted cree en ${\bf N}$), la conclusión es absurda, ya que cada una de las $T_n$ es claramente una parte de la TA (y constante).

Yo no soy una prueba teórico, así que no me siento exactamente cierto, pero creo que el problema con el razonamiento en el segundo párrafo es la sutileza de la declaración de $\operatorname{Con}(T_n)$. Usted necesita entender lo que realmente dice: esto significa que, si lo interpretamos como una declaración sobre el verdadero universo de los conjuntos, entonces se dice que el $T_n$ tiene un modelo de conjunto.

Pero lo que realmente consigue es que el $T_{n+1}$ dice acerca de un modelo de $M$ si $M\models T_{n+1}$ es que el "$M$ satisface $T_n$ y, además, se considera que tiene un modelo de $T_n$ dentro". Del mismo modo, cuando tenemos algo de $M\models T_\omega$, sólo significa que $M$ satisface $\textrm{ZFC}$, y, además, se piensa que tiene modelos de cada una de las $T_n$ en el interior.

El problema aquí es con el "piensa". Puede muy bien ser que $M$ está equivocado acerca de que contiene el modelo de algunos $T_n$ (por ejemplo, su pertenencia a la relación podría no ser la verdadera relación de pertenencia), en cuyo caso la caída de fichas de dominó. De nuevo, uno podría argumentar que desde $M$ considera que tiene un modelo de cada una de las $T_n$, podemos aplicar la compacidad (en $M$, ya que satisface ZFC!) para encontrar un modelo de $T_\omega$ dentro $M$ (o al menos para hacer $M$ cree que tiene uno). Pero eso no va a funcionar, porque aplicar la compacidad, $M$ tendría que ser conscientes no sólo de un modelo de cada una de las $T_n$ por separado, pero también de modelos para todos simultáneamente.

Más precisamente, incluso si tenemos $m_n\in M$ tal que $M\models "m_n\models T_n"$, no podemos decir que implica que $M\models "(\forall n)\, m_n\models T_n"$; de hecho, $M$ puede incluso no saber el verdadero números naturales, por lo que no tiene mucho sentido para cuantificar sobre ellos! E incluso si $M$ hace saber a todos los números naturales, se puede saber más de ellos, que $\omega$, por lo que incluso si para todas las $n$ tenemos $M\models "m_n\models T_n"$, puede tener algunos no estándar $n^*$ tal que $M\models "m_{n^*}\not\models T_{n^*}"$, caso en el cual en realidad $M\models \exists n\in {\omega} "m_n\not\models T_n"$ (como atestigua $n^*$, $M$ considera estar en $\omega$).