Yo tenía una ligera confusión acerca de los grupos de Galois sobre una base de campo, la cual se completa con respecto a una discreta valoración.
Sabemos que existen polinomios irreducibles como $X^3+X^2+2X-8$ donde las raíces se han valoración diferente en la división de campo. En este ejemplo, tome $K=\mathbb{Q}_2$ a ser el campo base y de considerar su división de campo. Por Newton el Polígono, las tres raíces tienen valoraciones $0$, $1$ e $2$. (Ver la teoría algebraica de números de notas www.jmilne.org/math/)
Sin embargo, también se observa que los grupos de Galois de preservar la valoración, independientemente de qué tipo de extensión es (unramified, totalmente ramificado, etc). Esto es por la singularidad de la extensión de un valor absoluto en un campo. (Análoga a la del resultado, todas las normas de un real finito dimensional espacio vectorial son de Lipschitz equivalentes).
Para ser más específicos, si $v$ es una valoración, a continuación, $v':x\mapsto v(\sigma(x))$ para $\sigma\in Gal(L/K)$ es otro de valoración y $Im(v)=Im(v')$, deben ser de la misma valoración. (es decir, nada de tonterías acerca de los factores de escala)
Mi pregunta es que estos dos resultados parecen contradecirse mutuamente. Si tomamos $K=\mathbb{Q}_2$ e $L$ a la división de campo de la $X^3+X^2+2X-8$, entonces un campo automorphism en el grupo de Galois debe ser capaz de enviar un elemento $\alpha_1$, a raíz de la $X^3+X^2+2X-8$ a otra raíz $\alpha_2$ de una valoración diferente.
Así que, ¿dónde puedo razón erróneamente?
