Demuestra que alguna de las raíces del polinomio no es real.

Question

\begin{equation*} p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_3x^3+x^2+x+1. \end{equation*}

Todos los coeficientes son reales. Demuestra que algunas de las raíces no son reales.

No tengo ni idea de cómo hacerlo, sólo intuyo que algo tiene que ver con los coeficientes de $x^2$ y $x$ y la constante 1.

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Adaptando el argumento de esta respuesta por Noam Elkies.

Si $p(x)$ sólo tiene ceros reales, entonces también los tiene su recíproco $$ x^np(\frac1x)=x^n+x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n. $$ Pero por las relaciones de Vieta la suma de las raíces de este polinomio es $-1$ y la suma de sus productos por pares es $1$ . Por lo tanto, la suma de los cuadrados de las raíces es $$(-1)^2-2\cdot1=-1<0. $$ En consecuencia, algunas de las raíces deben ser no reales.

Answer 2

Sea $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sean las raíces de $p(x)$ . Tenemos

• coeficiente de $x^0 = 1 \implies \prod_{i=1}^n \lambda_i = (-1)^n$
• coeficiente de $x^1 = 1 \implies \sum_{j=1}^n \prod_{i=1,\ne j}^n \lambda_i = (-1)^{n-1}$
• coeficiente de $x^2 = 1 \implies \sum_{1\le j < k \le n}\prod_{i=1,\ne j, k}^n \lambda_i = (-1)^{n-2}$

Combinándolos, tenemos

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} = -1 \quad\text{ and }\quad \sum_{1\le j < k \le n} \frac{1}{\lambda_j\lambda_k} = 1 $$ Todo ello implica

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i^2} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i}\right)^2 - 2 \left(\sum_{1\le j < k \le n} \frac{1}{\lambda_j\lambda_k}\right) = (-1)^2 - 2(1) = -1$$ Si todos $\lambda_i$ son reales, el LHS tiene que ser positivo. Como este no es el caso, algunas de las raíces no son reales.

Otro enfoque alternativo

Ya que robjohn propone un enfoque alternativo utilizando el Teorema de Sturm, unamos la diversión y ataquemos este problema con otro teorema. Igual que todos los demás, si todas las raíces de $p(x)$ son reales, también lo es $$q(x) = x^n p\left(\frac1x\right) = x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots$$ Solicitar Teorema de Gauss-Lucas $(n-2)$ veces, esto implicará todas las raíces del polinomio

$$\frac{1}{n!}q^{(n-2)}(x) = \frac12 x^2 + \frac{1}{n}x + \frac{1}{n(n-1)} = \frac12 \left(x + \frac{1}{n}\right)^2 + \frac{n+1}{2n^2(n-1)} $$ son reales. Sin embargo, esto contradice el hecho obvio de que el polinomio del lado derecho no tiene ninguna raíz real. Como resultado, algunas de las raíces de $p(x)$ no son reales.

Answer 3

$p(x)$ tiene todas sus raíces en $\mathbb{R}$ si y sólo si el polinomio $q(x)=x^np(\frac1x)$ tiene todas sus raíces en $\mathbb{R}$ . No necesitamos preocuparnos por una raíz de $0$ desde $p(0)=1$ y $q(0)=a_n\ne0$ .

Los tres primeros polinomios del Cadena Sturm para $q(x)$ son $$ \begin{align} q(x)&=x^n+x^{n-1}+x^{n-2}+\dots\\ q'(x)&=nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+(n-2)x^{n-3}+\dots\\ q'(x)\left(\tfrac1nx+\tfrac1{n^2}\right)-q(x)&=\left(-\tfrac1n-\tfrac1{n^2}\right)x^{n-2}+\dots \end{align} $$ Tener $n$ raíces reales, los coeficientes principales de la cadena de Sturm deben tener todos el mismo signo, de modo que hay $0$ cambios de signo en $+\infty$ y $n$ cambios de signo en $-\infty$ . Sin embargo, el coeficiente principal del tercer polinomio es diferente de los dos primeros. Por lo tanto, $q(x)$ no puede tener $n$ raíces reales y, asimismo, $p(x)$ no puede tener $n$ raíces reales.

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Tenga en cuenta que si $q$ tiene $d$ raíces repetidas entonces $\deg(\gcd(q,q'))=d$ . Así, la cadena de Sturm termina con un grado $d$ polinomio en lugar de una constante. Esto significa que necesitamos $n-d$ cambios de signo para obtener el $n-d$ raíces reales distintas. Esto sigue significando que necesitamos que todos los coeficientes principales de la cadena de Sturm tengan el mismo signo.

Answer 4

Si un polinomio sólo tiene raíces reales, sus coeficientes tienen que satisfacer Desigualdades de Newton .

Ya que observando los coeficientes de $x^0,x^1,x^2$ podemos ver que este no es el caso, nuestro polinomio debe tener alguna raíz no real (y obviamente, las raíces no reales vienen en pares conjugados).

Answer 5

Contraejemplo: Si $n=0$ entonces $p$ no tiene raíces.