Es la condición de "ejemplo de trayectorias son continuas" una parte apropiada de la "caracterización" de la Wiener proceso?

Question

Wikipedia tiene diferentes artículos en "movimiento Browniano" y "Wiener proceso" (http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion y http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process ). Yo no soy un experto, pero que me parece dudosa. Ese no es el tema de mi pregunta, sin embargo, y que puede ser una mejor tema para discutir en la Wikipedia que en el MSE.

En ambos artículos se dice que el proceso de Wiener es "caracterizado por" (no usar las palabras "definido" o "definición") cuatro hechos. Uno de ellos es esencialmente el hecho de que muestra los caminos son casi seguramente continuo.

En una monografía que voy a citar a continuación, la continuidad de la muestra caminos no era parte de la definición. Creo que sería mejor si se dio un matemático de la definición que no incluyen la continuidad de la muestra rutas de acceso y, a continuación, citó la continuidad de la muestra, en rutas como la propiedad que pueda ser probada. Aunque otras personas que los matemáticos pueden estar interesados en el proceso de Wiener, es que es una idea matemática (según la Wikipedia), y creo que debe ser definido en términos matemáticos.

Una buena definición matemática no incluir información redundante. Por ejemplo, cuando se define un grupo, uno nunca dice que hay un único elemento de identidad, debido a la singularidad puede ser probada. No sé si es Marrón o Wiener utilizado la continuidad de la muestra, en rutas como parte de su definición, pero si lo hiciera, creo que un moderno, más ágil definición que omite innecesaria la hipótesis sería mejor.

Me gustaría quejarme de esto en los artículos de las páginas de discusión, pero no estoy seguro de lo suficiente para estar seguro de que este es un reclamo válido. Puede alguien atrás de mí? O puede alguien justificar la Wikipedia, "caracterización"?

EDIT: Esta es la definición de movimiento Browniano de "Una Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas" por L. C. Evans:

(i) $W(0) = 0$ casi seguramente.

(ii) $W(t)-W(s) \sim N(0,t-s)$ todos los $0 \leq s \leq t$

(iii) Para todos los $0<t_1<t_2<\cdots<t_n$, las variables aleatorias $W(t_1),W(t_2)-W(t_1),\ldots,W(t_n)-W(t_{n-1})$ son independientes.

A continuación, procede a demostrar en un "Teorema" que los estados ".e. $\omega$, el recorrido de la muestra $t \mapsto W(t,\omega)$ es continuo". CORRECCIÓN: en realidad demuestra que la tasa de construcción de movimiento Browniano tiene la muestra continua de caminos. Él no probar la continuidad de la siguiente manera (i)-(iii).

Evans es un muy buen matemático y un buen escritor.

Si la continuidad de la asunción es necesario, entonces, alguien probablemente ya ha demostrado que no existe un proceso estocástico que satisface (i)-(iii) anteriores, pero que no es lo mismo que el movimiento Browniano (dado por varias construcciones, como la de Levy, de la construcción, por ejemplo). Alguien ha hecho esto?

EDIT: Alguien ha hecho esto. Ver el MathOverflow enlace en el comentario inmediatamente debajo de esta respuesta.

Answer 1

Hay un número de maneras de definir el Movimiento Browniano. Como dices, muchos de los enfoques comunes en primer lugar, construir un adecuado conjunto de procesos (a menudo en un espacio del producto), a continuación, mostrar que en cada clase de equivalencia es continua, la versión de el proceso (generalmente mediante la prueba de Kolmogorov de continuidad teorema) y, a continuación, declarar que sólo estamos interesados en que este elemento de cada clase de equivalencia. Que es muy diferente de decir que cualquier proceso de satisfacción de la otra hipótesis es necesariamente un proceso continuo. Un tanto paradójicamente, en la construcción habitual en el espacio del producto, en el caso de que el proceso es continuo, no es ni medibles. En eso de manera totalmente natural, no tiene sentido hacer la pregunta de si los caminos no son continuos, sin hacer algún tipo de restricción. Hay una discusión de esta construcción y de este tema en Durrett, si usted está interesado.

Ya que físicamente (y matemáticamente) queremos ser capaces de especificar que el Movimiento Browniano es continua pathwise, tenemos que agregar la restricción para el elemento continuo de las clases de equivalencia en la definición de uso de la construcción en un espacio del producto y obtener el proceso que queremos.

Creo que puede ser digno de mirar en el otro común, relativamente elemental de la construcción. Otro enfoque es el de construir el Movimiento Browniano directamente en el espacio de funciones continuas en la topología usual. Pero se puede ver en este enfoque, que yo diría es mejor que el primer enfoque, se supone implícitamente que el Movimiento Browniano debe ser continua. Como comentario, el enlace anterior contiene lo que generalmente se refiere como el estándar moderno de referencia matemático sobre el Movimiento Browniano y los autores no tienen continuidad en la definición.

Para lo que vale, acabo de tomar una mirada muy rápida a Wiener del documento original y se ve (en una muy rápida mirada) como prueba de la continuidad como un teorema.

Answer 2

La definición puede no parecer matemáticamente riguroso, pero es en realidad. Tal vez sería mejor decir que el proceso de Wiener es el único proceso que satisfaga estos 3 (o 4, dependiendo de cómo lo cuentan) criterios. Por supuesto, uno tiene que probar la existencia y unicidad de un proceso (el proceso de Wiener artículo cita Durrett del libro, que hace). La existencia de la siguiente manera a partir de las construcciones de un Chris menciona en su respuesta.

La redacción del artículo de la Wiki podría probablemente de pie para hacer esto más claro, pero como está parado no es incorrecto.

Yo también señalar que todas las condiciones que son necesarias.