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De densidad de probabilidad en Hamiltoniana de la Mecánica

Actualmente estoy estudiando el teorema de Liouville comparar wikipedia

y de ahí que esta misteriosa de densidad de probabilidad $\rho$ aparece y me preguntaba cómo puede uno determinar esta cantidad analíticamente para un problema dado.

Pensemos en el oscilador armónico como un primitve ejemplo, ¿cómo puedo obtener una representación analítica de $\rho$?

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lejlot Puntos 1379

El teorema de Liouville describe el tiempo de evolución de la densidad, en el ensemble canónico en donde la energía de los mismos es conservador, de sistema de puntos en el espacio de fase. Un ejemplo común es un sistema cerrado con Hamiltonianos $\mathcal{H}=\frac{1}{2}p^2+V(q)$. De acuerdo a la ecuación de Liouville, la densidad de probabilidad de la distribución de $\rho(q,p;t)$ del espacio de fase permanece invariable a lo largo de la trayectoria. Que es $$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho}{\partial q}\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p}-\frac{\partial\rho}{\partial p}\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho}{\partial q}p-\frac{\partial\rho}{\partial p}\nabla V=0$$ Es un lineal de primer orden de la pde y podemos resolverlo por el método de las características. La ecuación característica es $$dt=\frac{dq}{p}=-\frac{dp}{\nabla V}$$ que da dos primeras integrales. $$\mathcal{H}=\frac{1}{2}p^2+V(q)$$ $$q_0=q-\int pdt$$ Por lo tanto la solución es $$\rho(q,p;t)=F(\mathcal{H},q-\int pdt)$$ para cualquier función bivariante $F(x,y)$.

Suponga que la distribución inicial es la distribución normal multivariante $\mathcal{N}({\bf0,\mathcal{I}})$, es decir, $$\rho(q,p;0)=F(\mathcal{H},q_0)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\exp\{-\frac{1}{2}q_0^Tq_0\}$$ A continuación, la solución final $$\rho(q,p;t)\propto\exp\{-\mathcal{H(q(t),p(t))}\}$$

3voto

Nathan Feger Puntos 7675

La densidad de probabilidad es el estado del sistema en esta configuración. Mientras que el hamiltoniano contiene toda la información acerca de cómo el sistema está configurado, ¿qué fuerzas están actuando, y así sucesivamente, la densidad de probabilidad contiene todos los físicamente medibles información acerca del paradero en el espacio de fase el sistema en realidad es.

Este es un cambio completo de paradigma a otros enfoques a la mecánica. En la mecánica cuántica, por ejemplo, tiene un estado fundamental - la función de onda, $\psi$ - y te encuentras $\rho=|\psi|^2$ en términos de la misma. En hamiltoniana de la mecánica usted puede jugar el juego de olvidar cuando comenzó el reloj, y ver donde se puede encontrar la partícula con mayor frecuencia (ver, por ejemplo, "Cuántica y clásica de las distribuciones de probabilidad de la posición y el momentum," RW Robinett, Am. J. Phys. 63 no. 9, p. 823 (1995), disponible aquí). Esto es diferente. Ya que no sé donde has puesto tu sistema, o donde podría ser ahora, la densidad de probabilidad $\rho$ es su fundamental de la manija sobre el estado del sistema, y no los puedes cambiar por otros objetos.

Por lo tanto, dado un determinado estado inicial (y una específica de hamilton), usted tiene que resolver la ecuación de Liouville para obtener el $\rho$ para tiempos posteriores. Dependiendo del sistema y el estado inicial, esto puede o puede no ser posible analíticamente, o usted puede incluso encontrar a ti mismo numérica de dificultades. En general, sin embargo, esto es relativamente difícil, ya que su ecuación de movimiento ha cambiado de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (como en hamiltoniana de la mecánica) a una relativamente compleja ecuación diferencial parcial.


Dicho esto, el oscilador armónico es de hecho una muy, muy especial liouvillian mecánica. Esto es debido a su harmonicity: más precisamente, debido a que todas las órbitas tienen el mismo período. Esto implica que el espacio de fases se mueve rígidamente, que gira alrededor de la posición de equilibrio en la frecuencia de oscilación, y lleva a la densidad de probabilidad con ella.

Así, para un armónico de hamilton $H=\frac12(p^2+q^2)$, la solución a la ecuación de Liouville $$\left[\frac\partial{\partial t}+p\frac\partial{\partial q}-q\frac\partial{\partial p} \right]\rho=0$$ en virtud de una condición inicial arbitraria $\rho_0(q,p)$ es fácil de encontrar para ser $$\rho(q,p,t)=\rho_0(q\cos(t)-p\sin(t),q\sin(t)+p\cos(t)).$$ (Usted debe, por supuesto, hacer el cálculo correspondientes! Para un buen ejercicio, agregar unidades y comprobar que todo funciona). Debe estar bastante claro que lo que esta solución no es la traza de la clásica de la trayectoria de vuelta desde el punto de $(q,p)$ tiempo $t$ a donde habría comenzado en el tiempo 0, y recuperar el original de la densidad de partículas de allí.

Me imagino que hay es un método equivalente para obtener (al menos formal) la solución de Liouville las ecuaciones en términos de los correspondientes hamiltonianos trayectorias. (Una breve incursión en la web no se convierta, pero estoy bastante seguro de que existe.) Así que había reducir el difícil problema de la PDE a las Odas fue construido originalmente. Tenga en cuenta, sin embargo, que, en general, las cosas serán, al menos, un poco más complicado que el anterior, porque si el espacio de la fase de movimiento no rígido - si las trayectorias se amontonen o propagación fuera de la densidad de probabilidad se correspondientemente aumentar o disminuir.

2voto

joshphysics Puntos 34367

Considere algunas clásicas sistema mecánico con canónica de coordenadas y momenta $(p,q)$ en su espacio de fase $\Gamma$. Podemos imaginar la construcción de un gran número de copias idénticas de este sistema. Llamamos a un conjunto de copias de un conjunto.

A continuación, podemos preparar las condiciones iniciales de cada elemento del conjunto, sin embargo nos gusta. Si nos imaginamos que el estado de cada elemento del conjunto es representado como un punto en $\Gamma$, entonces el conjunto se verá como una nube de puntos en el espacio de fase. Si nos imaginamos que el número de puntos es muy grande, entonces podemos imaginar que representa la nube en términos de densidad en el espacio de fase. Si, por ejemplo, todos los miembros del conjunto son preparados inicialmente en casi el mismo estado, entonces la nube se verá como un grupo alrededor del punto correspondiente en el espacio de fase.

Una vez que especificar el comportamiento inicial del conjunto sin embargo, el Hamiltoniano la evolución va a determinar cómo la nube evoluciona con el tiempo. De hecho, la ecuación que rige la evolución de la fase de densidad es \begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} = \{H,\rho\} \end{align}

Construir un ejemplo es fácil. Simplemente elija su favorito de densidad de probabilidad en el espacio de fase en el momento inicial, y el uso de la evolución de las ecuaciones de obtener para su posterior veces!

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