ayuda con la suma del índice de

Question

Trato de exprex la siguiente doble summ $$\sum _{k=0}^n \sum _{m=k+1}^n \frac{a_k \left(2^{2 m} n \binom{m+n}{2 m}\right)}{m+n}$$ se trata de la aceleración de la serie y necesito expresar de esta manera $$\sum _{j=1}^n \sum _{k=0}^{j-1} \frac{2^{2 (k+1)} n a_k \binom{k+n+1}{2 (k+1)}}{k+n+1}$$ Trato de eleminate la m índice de yo no se lo que es malo, pero el de la serie son diferentes yo preciate cualquier ayuda en este sentido Gracias

Answer 1

Usted tiene $$\sum_{k=0}^n \sum_{m=k+1}^n a_k b_m,$$ what is $b_m$ no es interesante ahora. Todo esto significa que usted tiene $$0\leq k \leq m-1 \leq n-1,\quad\text{i.e.},\quad 1\leq k+1\leq m\leq n.$$ The proper sum exchange is therefore $$\sum_{m=1}^n \sum_{k=0}^{m-1} b_m a_k.$$

Para mí, la escritura de las cuatro variables importantes (menor criterio, la parte superior de criterio y tanto la suma de las variables) en una desigualdad siempre se resuelve la suma de exchange y nunca he cometido un error de esta manera.

Por cierto, aviso que para $k=n$ la suma está vacía.

Answer 2

Ha $$\sum_{k=0}^n\sum_{m=k+1}^n=\sum_{k,m:}_{0\le k<m\le n}=\sum_{m=1}^n\sum_{k=0}^{m-1}$$

A continuación, puede sustituir a $m$ $j$ si te gusta, pero las dos series que dan no son iguales.