Uniendo un toro sólido a un toro sólido con anillo interior.

Question

Pensaba en el hecho de que si dos handlebodies (toroides sólidos) de género $1$ se pegan a través de un homeomorfismo que preserva la orientación de las fronteras, la variedad resultante depende solo (hasta la isotopía) de la imagen de un entorno de un meridiano.

Sea $\tau$ una torsión de Dehn a lo largo de un meridiano. De acuerdo con el hecho anterior, la variedad resultante a través de $\tau$ es igual a la variedad obtenida a través del homeomorfismo de identidad de las fronteras, ya que actúan de forma idéntica en un entorno de un meridiano.

Estoy convencido por este argumento pero mi cerebro (¿intuición geométrica?) no acepta el hecho. ¿Incluso si hacemos una torsión, no cambia el resultado? Así que hice varios experimentos. Uno de ellos es el siguiente.

Supongamos que colocamos un anillo en un handlebody de género $1$ a lo largo de un longitudinal. (La homología del anillo no es cero). Entonces, mediante el homeomorfismo de identidad, obtenemos $S^1 \times S^2$ y el anillo está en él tal cual.

Si pegamos los handlebodies mediante $\tau$, deberíamos obtener $S^1 \times S^2 según el hecho. Pero me parece que el anillo está "torcido" a lo largo de un meridiano.

¿Existe una isotopía entre estos dos en la que un anillo torcido se mapee a un anillo no torcido?

¿O si consideramos un subconjunto en el handlebody, el hecho anterior ya no es válido?

Gracias de antemano.

Answer 1

Parece que te falta una herramienta de teoría de conjuntos para hacer la topología del cociente.

Construyamos un espacio tomando dos espacios $X$ e $Y$, tomando su unión disjunta, luego identificamos un subconjunto de $X$ con un subconjunto de $Y$ a través de un homeomorfismo. Digamos que $A \subset X$ y $B \subset Y$ y $\phi : A \to B$ es un homeomorfismo.

$$X \sqcup_\phi Y := (X \sqcup Y) / \sim$$

donde la relación de equivalencia $\sim$ se genera mediante $a \in A$ es equivalente a $\phi(a) \in B.

Hecho fácil de probar: (1) Si $\psi : Y \to Y$ es un homeomorfismo tal que $\psi(B) = B$, entonces hay un homeomorfismo $X \sqcup_\phi Y \to X \sqcup_{\psi \circ \phi} Y$. El mapa se define como la identidad en $X$ y $\psi$ en $Y.

(2) Si $\eta : X \to X$ es un homeomorfismo tal que $\eta(A) = A$, entonces hay un homeomorfismo $X \sqcup_\phi Y \to X \sqcup_{\phi \circ \eta} Y. El mapa es la identidad en $Y$ y $\eta^{-1}en X.

En tu caso, $X=Y = S^1 \times D^2$ y $A=B=S^1 \times S^1$. $\pi_0 Homeo(S^1 \times S^1) \simeq GL_2(\mathbb Z)$ y $\pi_0 Homeo(S^1 \times D^2) \simeq \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z$, el toro sólido tiene una reflexión en el espejo, puedes invertir la orientación del núcleo y "torcer" alrededor de él.

Desde esta perspectiva, las variedades que puedes generar pegando dos toros sólidos juntos están controladas por los dobles cocientes de $\pi_0 Homeo(S^1 \times D^2)$ en $\pi_0 Homeo(S^1 \times S^1)$. Usando solo cocientes de un tipo te indica que esto se reduce a estudiar a dónde va el meridiano.

Un argumento menos seco sería primero preguntar dónde va el meridiano, y luego simplemente observar que, una vez que sepas dónde va el meridiano, cualquier extensión de la incrustación del meridiano a un difeomorfismo de $S^1 \times S^1$ debe diferir por un difeomorfismo de $S^1 \times D^2. Así que aquí estás utilizando algo de conocimiento real de la superficie.