Pregunta relacionada con la Característica de Funciones y la Existencia de una Distribución

Question

Pregunta

Es posible que $X$, $Y$ e $Z$ a tienen la misma distribución y satisfacer $X=U(Y+Z)$ donde $U$ es uniforme en $[0,1]$ e $Y$, $Z$ son independientes de $U$ y la una de la otra?

La pregunta anterior es de Grimmett y Stirzaker.

Mi intento

Traducimos la condición en funciones características. Deje $\phi(t)=Ee^{it X}$ ser la característica de la función de $X$. Entonces $$ \phi(t)=Ee^{itUY}Ee^{itUZ}=(Ee^{itUX})^2=\left[\int_0^1 \int e^{itux}\,dF(x)\, du\right)^2=\left[\int_0^1 \phi(tu)\, du\right)^2 $$ el uso de la independencia y la igualdad de la distribución de los supuestos. Podemos escribir la ecuación anterior como $$ \phi (t)=\frac{1}{t^2}\left[\int_0^t \phi(y)\, dy\right)^2 $$ pero no estoy seguro de por dónde continuar a partir de aquí. Supongo que tenemos que resolver una ecuación diferencial. Poner $\Phi(t)=\int_0^t \phi(y)\, dy$. Entonces tenemos que $$ \Phi'(t)=\frac{1}{t^2}\Phi(t)^2 $$ pero soy incapaz de resolver esta ecuación diferencial.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La reorganización de la ecuación diferencial da $d\Phi/\Phi^2=dt/t^2$ lo $1/\Phi=1/t+C$, es decir, $\Phi=\frac{t}{1+Ct}$. Por lo tanto $\phi=\frac{1}{(1+Ct)^2}$. Por lo tanto $C=0$ (de lo contrario $|\phi|\le 1$ fallaría para algunos $t\in\Bbb R$). Esto implica $X,\,Y,\,Z$ son idénticas $0$, el cual trabaja.