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Función armónica entera no trivial en el plano

¿Es posible encontrar explícitamente una función armónica $u \in C^2(\mathbb{R}^2)$ tal que \begin{equation}\tag{$\dagger$}\label{eq:dag} u(x,1) = u(x,-1) = 0 \end{equation} para todos $x \in \mathbb{R}$ ? ¿Es posible que $u$ sea un polinomio?

Mi intuición dice que $u$ no puede ser un polinomio, pero no he podido demostrarlo rigurosamente. De hecho, no he sido capaz de encontrar una función que satisfaga \eqref { }

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Julián Aguirre Puntos 42725

Una de estas funciones es $$ u(x,y)=\Re\bigl(-i\,e^{\pi(x+iy)}\bigr)=e^{\pi\,x}\sin(\pi\,y). $$ Si $u$ es una función de este tipo, entonces $u=\Re(f(z))$ para alguna función completa $f$ con $f(x+i)=f(x-i)=0$ . El principio de reflexión de Schwarz implica que $f$ debe ser periódico de periodo $2\,i$ y por lo tanto no puede ser un polinomio.

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