La función gamma a la vista de Lebesgue y la integración de Riemann.

Question

Estoy cursando una asignatura de teoría de la medida algo dura y me pidieron que probara esto:

a) Que $\alpha > 0$ sea un número real. Demostrar que $$\Gamma(\alpha):=\int_0^\infty e^{-x}x^{\alpha-1}dx$$ existe. (Estamos estudiando la relación entre ser Lebesgue-integrable y Riemann-integrable, así que no estoy muy seguro de qué tipo de integral debería demostrar que existe, pero sospecho que es la segunda).

b)Demostrar que: $$\lim_{n\to\infty}\int_0^n \left( 1-\frac{x}{n}\right)^n x^{\alpha-1}dx=\Gamma(\alpha).$$ Una pista: $(1-\frac{x}{n})^n\le (1-\frac{x}{n+1})^{n+1}$ siempre que $\frac{x}{n}<1$ .

Esto apesta a algún teorema de límite como la Convergencia Monótona, Fatou o la Convergencia Dominada de Lebesgue, pero esos se aplican a funciones ingrables de Lebesgue. La desigualdad indicada en las pistas me hace pensar que debería utilizar la Convergencia Monótona.

Se agradece cualquier idea al respecto. Estamos utilizando el Libro de Teoría de la Medida de Bartle y estamos más o menos alrededor del $\mathcal{L}_p$ parte de los espacios.

Gracias de antemano.

Answer 1

1) Una pista: Para $x\ge0$ y $n\ge1$ , $e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\ge1+\frac{x^n}{n!}$ Por lo tanto $e^{-x}\le\frac{n!}{n!+x^n}$

2) Una pista: Para $m\ge n$ , $$ \int_0^m\left(1-\frac xm\right)^m x^{\alpha-1}\,\mathrm{d}x \ge\int_0^n\left(1-\frac xm\right)^m x^{\alpha-1}\,\mathrm{d}x \ge\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n x^{\alpha-1}\,\mathrm{d}x $$ y $\left(1-\frac xn\right)^n\le e^{-x}$ para $x\le n$ .