Teorema de la divergencia - Cono

Question

Esta es la pregunta: Evaluar la integral de superficie $\iint _S F\cdot n \space dA$ por el teorema de la divergencia. $ \mathit F = [xy, yz, zx]$ S la superficie del cono $x^2 + y^2 \le 4z^2, \space \space 0 \le z \le 2 $

Este es mi trabajo para esta pregunta. $$\nabla F = y + z + x $$

Ecuación paramétrica de S: $$ (r,v,u) = (r\cos(v), r\sin(v), u) $$

Los límites de cada variable: $$ 0\le v \le 2\pi \quad 0 \le u \le 2 \quad 0\le r \le 2u $$

El jacobiano es $r$

La nueva divergencia es $$\nabla F = r\cos (v) + r \sin (v) + u $$

Por lo tanto, al evaluar la integral triple se obtiene $16\pi$

Ahora, mi trabajo para la integral triple es correcto pero no estoy seguro de mi ecuación paramétrica y límites. No sé la respuesta correcta a esta pregunta, ya que mi libro de texto sólo proporciona respuestas a los problemas de números Impares. Sin embargo, he encontrado este sitio web http://www.slader.com/textbook/9780471488859-advanced-engineering-mathematics-9th-edition/463/problems/18/# y su respuesta es diferente a la mía. ¿He hecho algo mal?

Answer 1

Vamos a comprobarlo. Estás calculando en coordenadas cilíndricas, lo que significa que necesitas escalar todo por el determinante de la transformación, que es $r$ Así que $$ \int_0^2\int_0^{2\pi}\int_0^{2z} r(r\cos\theta +r\sin\theta+z)\;\mathrm dr \;\mathrm d\theta\;\mathrm dz $$ Las dos primeras integrales de la suma son triviales, ya que tenemos una integral sobre un periodo completo de seno y coseno, por lo que nos queda $$ \int_0^2\int_0^{2\pi}\int_0^{2z} r(r\cos\theta +r\sin\theta+z)\;\mathrm dr \;\mathrm d\theta\;\mathrm dz\\ =\int_0^2\int_0^{2\pi}z\int_0^{2z} r\;\mathrm dr \;\mathrm d\theta\;\mathrm dz\\ =4\pi\int_0^2 z^3\mathrm dz\\ =16\pi $$ como has encontrado.

La respuesta en el enlace proporcionado no tiene sentido; los límites del radio dependen claramente de la altura del cono.