Los números de $n$ que el dígito de las sumas de $n, n^2,\cdots,n^k$ coincidir.

Question

Vamos $S(n)$ ser el dígito de la suma de $n\in\mathbb N$ en el sistema decimal. Cuando yo estaba jugando con los números, me di cuenta de lo siguiente : $$S(\color{red}{9})=9=8+1=S(81)=S\left(\color{red}{9^2}\right)$$$$S(\color{red}{18})=1+8=3+2+4=S(324)=S\left(\color{red}{18^2}\right)$$$$S(\color{red}{19})=1+9=3+6+1=S(361)=S\left(\color{red}{19^2}\right)$$$$S(\color{red}{45})=4+5=2+0+2+5=S(2025)=S\left(\color{red}{45^2}\right)$$

También, he encontrado las siguientes : $$S(\color{red}{468})=\left(\color{red}{468^2}\right)=\left(\color{red}{468^3}\right)$$ $$S(\color{red}{585})=\left(\color{red}{585^2}\right)=\left(\color{red}{585^3}\right)$$ $$S(\color{red}{5868})=\left(\color{red}{5868^2}\right)=\left(\color{red}{5868^3}\right)$$ Sin embargo, no he sido capaz de encontrar $n\in\mathbb N$ que $$n\ge 2\ \text{ y }\ n\no\equiv 0\pmod{10}\ \text{ y }\ S(n)=S\left(n^2\right)=\left(n^3\right)=\left(n^4\right).$$

Así que, aquí está mi pregunta.

Pregunta : ¿Cuál es el máximo de $k\in\mathbb N$ que existe al menos una $n\in\mathbb$ N que satisface la siguiente condición?

Condición : $n\ge 2 \text{ y } n\no\equiv 0\pmod{10} \text{ y } S(n)=S\left(n^2\right)=\cdots=S\left(n^k\right)$.

Tenga en cuenta que tenemos $k\ge 3$ y $n\equiv 0,1\pmod 9$. Alguien puede ayudar?

Añadido : sólo he descubierto que tenemos $n\gt 2967089989969$ para $k=4$ ya que ninguno de los enteros de esta página(OEIS), donde podemos ver la cantidad de $k=3$, la cantidad de $k=4$.

Añadido : usuario Nikhil Mahajan encontró que tenemos $n\gt 10^{13}$ para $k=4$.

Answer 1

El siguiente probabilístico argumento sugiere que $k=3$ es muy probable el máximo.

Por $0 \leq \sigma \leq 9$ definir $$ b(\sigma) = \min_{0 \leq x \leq +\infty} x^{-\sigma} \sum_{i=0}^9 x^i. $$ Mus $b(0)=b(9)=1$ y $b(9/2) = 10$.

Lema. Supongamos que $0 \leq s \leq 9d$. De los $10^d$ enteros en $[0,10^d)$, en la mayoría de los $b(s/d)^d$ dígito de la suma de $s$. La desigualdad es estricta, a menos que $s=0$ o $s=9d$.

Prueba: Revisión $d$, y deje de $N_s$ ($0 \leq s \leq 9d$) ser el número de enteros en $[0,10^d)$, con dígito de la suma de $s$. Entonces el $N_s$ tiene la generación de polinomio $$ \sum_{s=0}^{9d} N_s X^s = \left( \sum_{i=0}^9 X^i \right)^d. $$ De ello se sigue que $$ N_s \leq x^{s} \sum_{s'=0}^{9d} N_{s} x^{s'} = x^{s} \left( \sum_{i=0}^9 x^i \right)^d $$ para todo $x>0$. La elección de la $x$ que minimiza este límite superior los rendimientos de $N_s \leq b(s/d)^d$ como se ha dicho, y es claro que la igualdad sólo se aplica para $s=0$ y $s=9d$. $\Caja$

(Usando el contorno de integración se puede demostrar que este límite superior es un factor $O(\sqrt d\,)$ de la cifra real.)

Ahora de grande $d$ parece razonable esperar que por azar $n \in [0,10^d)$ el dígito sumas $S(n),S(n^2),\ldots,S(n^k)$ se comportan como variables aleatorias, independientes, excepto por la congruencia mod $9$, con cada $n^j$ comportarse como un azar $jd$-número de dígitos. Esto significa que el número de $d$-números de dos dígitos $n$ de los cuales $S(n)=S(n^2)=\cdots=S(n^k)$ es en la mayoría de los $B_k^d$, donde $$ B_k = \max_{0 < \sigma < 9} b(\sigma) \prod_{j=2}^k \left( \frac{b(\sigma/j)}{10} \right)^j. $$ Cálculo numérico encuentra $B_k \doteq 10, 6.56, 2.36, de 0,39$ por $k=1,2,3,4$. Por lo tanto esperamos una infinidad de soluciones para $k \leq 3$ pero sólo un número finito de $k \geq 4$, y probablemente ninguno ahora que Nikhil Mahajan ha buscado hasta $k=8$ y no encontró nada. De hecho, incluso $S(n) = S(n^4)$ debe tener sólo un número finito de soluciones (posiblemente nada menos que a $n=7,19,67$) porque incluso $\max_\sigma b(\sigma) \ b(\sigma/4)/10)^4$ es de alrededor de $0.855 < 1$. Si quieres ver más ejemplos, concentrarse en $n \equiv 0,1,4,7 \bmod 9$ $S(n)$ aproximadamente igual a $7$ veces el número de dígitos de $n$.

Algunos de los grandes ejemplos de $S(n)=S(n^2)=S(n^3)$ son $n = 4659468895$, $n = 22898799351$ y $n=319879688698$.