No estoy seguro de si este es tu punto de vista, pero la ruta integral que usted ha mencionado es, al menos para mí, como si se refiere a ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) y la ecuación de Fokker-Planck.
Para ayudar a explicar el mecanismo detrás de la ecuación de Fokker-Planck, partamos de un ingenuo ejemplo. Para la ecuación del calor en 1-D el espacio Euclidiano $\mathbb{R}$, considere el siguiente movimiento Browniano
$$
{\rm d}X_t=\sigma\,{\rm d}W_t,
$$
donde la constante $\sigma$ denota la difusividad térmica, el proceso estocástico $W_t$ significa que el proceso de Wiener. Aquí $X_t$ es también un proceso estocástico, el seguimiento de la posición de una partícula Browniana esté en tiempo de $t$. Además, denotan por $u(t,x)$ la función de densidad de probabilidad (PDF) de $X_t$, es decir,
$$
\int_{-\infty}^xu(t,y)\,{\rm d}y=\mathbb{P}(X_t\le x).
$$
Esperamos encontrar una ecuación diferencial que gobierna $u=u(t,x)$.
Definir
$$
f(x)=e^{-2\pi i\xi x}.
$$
Entonces
$$
\mathbb{E}f(X_t)=\int_{\mathbb{R}}e^{-2\pi i\xi x}u(t,x)\,{\rm d}x=\hat{u}(t,\xi)
$$
es la transformada de Fourier de la PDF. Esto se conoce como la función característica de la probabilidad. Para encontrar un consejo de la ecuación de $u$, es suficiente para encontrar que para $\hat{u}$.
Por Ito de la fórmula, tenemos
\begin{align}
{\rm d}f(X_t)&=f'(X_t)\,{\rm d}X_t+\frac{1}{2}f''(X_t)\,{\rm d}\left<X\right>_t\\
&=-2\pi^2\xi^2\sigma^2f(X_t)\,{\rm d}t-2\pi i\xi\sigma f(X_t)\,{\rm d}W_t,
\end{align}
donde $\left<X\right>_t$ denota el proceso de variación cuadrática de $X_t$, que, por el SDE se indicó anteriormente, se lee
$$
{\rm d}\left<X\right>_t=\sigma^2\,{\rm d}t.
$$
A partir de este resultado, obtenemos
$$
f(X_t)=f(X_0)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}s-2\pi i\xi\sigma\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}W_s.
$$
Tenga en cuenta que la última integral es un martingle (ver aquí ), para que
$$
\mathbb{E}\left(\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}W_s\right)=0.
$$
Gracias a este resultado, teniendo la expectativa en ambos lados de los rendimientos
\begin{align}
\mathbb{E}f(X_t)&=\mathbb{E}f(X_0)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\mathbb{E}\left(\int_0^tf(X_s)\,{\rm d}s\right)\\
&=\mathbb{E}f(X_0)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\int_0^t\mathbb{E}f(X_s)\,{\rm d}s,
\end{align}
o el uso de $\mathbb{E}f(X_t)=\hat{u}(t,\xi)$,
$$
\hat{u}(t,\xi)=\hat{u}(0,\xi)-2\pi^2\xi^2\sigma^2\int_0^t\hat{u}(s,\xi)\,{\rm d s},
$$
lo que es equivalente al diferencial de la forma
$$
\frac{\rm d}{{\rm d}t}\hat{u}(t,\xi)=-2\pi^2\xi^2\sigma^2\hat{u}(t,\xi),
$$
cuya inversa de Fourier da
$$
\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x).
$$
En resumen, la solución de una ecuación del calor puede ser interpretado como la densidad de probabilidad de algunos procesos estocásticos.
Este concepto se puede generalizar a la general Ito proceso, un tipo especial de procesos estocásticos que se rigen por
$$
{\rm d}X_t=\mu(t,X_t)\,{\rm d}t+\sigma(t,X_t)\,{\rm d}W_t,
$$
donde $\mu$ e $\sigma$ son tanto precargado funciones. Repita el procedimiento anterior para la derivación con otras técnicas tales como
$$
\mathbb{E}\left(f(X_t)\,\mu(t,X_t)\right)=\int_{\mathbb{R}}e^{-2\pi i\xi x}\mu(t,x), u(t,x)\,{\rm d}x=\widehat{\left(\mu\,u\right)}(t,\xi),
$$
uno puede terminar con el general de la 1-D de la ecuación de Fokker-Planck
$$
\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\mu(t,x)\,u(t,x)\right)+\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\sigma^2(t,x)\,u(t,x)\right).
$$
Uno también puede generalizar este 1-D de la ecuación de a $n$-D de los casos mediante el empleo de una $n$-dimensiones SDE sistema, como se indica en esta página. Tan lejos como yo lo veo, también es posible generalizar este Euclidiana-espacio de resultado a diferenciable colectores, pero me temo que va más allá de mi conocimiento.
Espero que esta explicación podría ser algo útil para su.
