Cómo calcular la intersección de la multiplicidad?

Question

Mi libro es Hulek Elemental de la geometría algebraica. Él define la intersección de la multiplicidad de $C,C'$ ($f,g$ respectivamente) a $P \in \mathbb{P}_k^2$ $I_P(C,C')=\dim_k \mathcal{O}_{\mathbb{P}_k^2,P}/(f,g)$

Él da un ejemplo: $C$ es dada en coordenadas proyectivas $X^2Z-Y^3=0$$L$$X=0$. Deje $P=(0:0:1)$, en coordenadas locales,$x^2-y^3=0$$x=0$.

A continuación, $I_P(C,L)=\dim_k \mathcal{O}_{\mathbb{P}_k^2,P}/(X^2Z-Y^3,X)=\dim_k \mathcal{O}_{\mathbb{A}_k^2,O}/(x^2-y^3,x)=\dim_k \mathcal{O}_{\mathbb{A}_k^2,O}/(x,y^3)=3$

Mi pregunta:

1. Es la segunda igualdad ok? tan solo cambiando afín coordenadas ¿ no cambiar la dimensión? (Si es demasiado complicado, no es necesario explicar en detalle).
2. ¿Por qué la última eq es cierto? Yo lo entiendo más o menos, tal vez relacionados con la a la dimensión del espacio vectorial generado por $1, x, x^2$. Pero quiero para conocer algunos detalles precisos.

Answer 1

Su segunda igualdad es bueno, porque incluso tiene $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2_{k},P}/(X^2Z-Y^3,X) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_{k},(0,0)}/(x^2-y^3,x)$. La moraleja es que el anillo local en un punto de $P$ es esencialmente un "local" del objeto, es decir, usted sólo tiene que mirar a un afín barrio (o "locales " coordinar" como Hulek pone) de $P$ a (en la situación anterior, estamos pasando a la afín vecindario $\{[a:b:c] \in \mathbb{P}^2_k, c \neq 0\} \cong \mathbb{A}^{2}$$P=[0:0:1]$).

Su última igualdad se deduce de los siguientes: desde $x^2-y^3$ $x$ se cruzan solamente en el origen $(0,0)$

$$\mathcal{S}_{\mathbb{A}^2_k,(0,0)}/(x^2-y^3,x) \cong k[x,y]/(x^2-y^3,x)$$

(cf. Fulton Las Curvas Algebraicas, Prop.6 en la Sección 2.9)

Ahora, como ya se ha señalado, $k[x,y]/(x^2-y^3,x)=k[x,y]/(x,y^3) \cong k[y]/(y^3)$ y el último ha $1,y,y^2$ como una base de más de $k$.