$F(x)+G(y)= e^{x+y}?$

Question

¿Existen funciones $F(x)$ , $G(y)$ , de tal manera que $F(x)+G(y)=e^{x+y}$ , donde $x,y$ ¿son números reales? He estado probando todas las funciones elementales, y no tengo ninguna pista sobre qué más podría hacer.

Answer 1

No hay tal $F$ y $G$ existe.

El hecho de que $F(0) + G(y) = e^{y}$ para todos los reales $y$ implicaría $G(y) = e^{y} - F(0)$ .

De la misma manera, $F(x) = e^{x} - G(0)$ para todos los reales $x$ . No importa cómo $F(0)$ y $G(0)$ son elegidos, estás hundido.

Answer 2

Aquí hay otra solución. Aplicando $\dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y}$ a ambos lados de $F(x)+G(y)=e^{x+y}$ tenemos $0=e^{x+y}$ . Esto nunca se cumple. Por lo tanto, las funciones que quieres no existen.

Answer 3

Si ese fuera el caso, tendrías para todos $y$ , $$F(1) - F(0)=F(1)+G(y) -(F(0)+G(y)) = e^{1+y}-e^y=e^y(e-1),$$ así que $e^{y}(e-1)$ sería constante.

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Motivación: Inicialmente pensé en tomar una derivada parcial, pero con más generalidad, basta con tomar una diferencia $f(0+1,y) -f(0,y)$ .