Mostrar $g(0)=\sup\{ Re(f(0)) : f\in\mathfrak{F}\}$

Question

Definir una familia de funciones por $$\mathfrak{F}:=\left\{ f\in Hol(\mathbb{D}) \ : \ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{|f^{(n)}(0)|}{n!}\right)^2\leq 1 \textrm{ and } f\left(\frac{1}{2}\right)=0\right\}$$ .

Intento demostrar que existe una $g\in\mathfrak{F}$ s.t. $$g(0) = \sup\{Re(f(0)) : f\in\mathfrak F\}.$$

Ahora bien, como f es holomorfa en el disco sabemos que tiene una expansión de potencia y que $$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!},$$ lo que significa que sabemos $$\sum_{n=0}^\infty |a_n|^2\leq 1$$ y así $a_n\in\mathbb{D}$ para $n=0,1,2,\dots.$ La parte con la que estoy teniendo un problema es el uso de la suposición de que $f\left(\frac{1}{2}\right)=0.$ He trabajado en problemas similares en los que teníamos que las funciones mapeaban al disco, lo que significaba que usando algunos mapas conformes podíamos usar el Lemma de Schwarz. Quiero hacer lo mismo aquí, pero no puedo ver cómo el $\sum |a_n|^2\leq 1$ significa $f:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{D}.$

Agradezco cualquier orientación o sugerencia que me puedan dar. Gracias.

Answer 1

Para $f \in \mathfrak{F}$ y $z \in \Bbb D$ la desigualdad AM-GM da $$ |f(z)| \le \sum_{n=0}^\infty |a_n z^n| \le \sum_{n=0}^\infty \frac 12 \bigl( |a_n|^2 + |z|^{2n} \bigr) = \frac 12 \bigl( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 + \sum_{n=0}^\infty |z|^{2n} \bigr) \le \frac 12 \bigl( 1 + \frac{1}{1-|z|^2} \bigr) $$ para que $\mathfrak{F}$ está uniformemente acotado en subconjuntos compactos de $\Bbb D$ . Alternativamente, se puede utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para series infinitas para concluir que $$ |f(z)| \le \frac{1}{\sqrt{1-|z|^2}} \, . $$

Se deduce de Teorema de Montel que $\mathfrak{F}$ es normal es decir, cada secuencia en $\mathfrak{F}$ tiene una subsecuencia que converge uniformemente en subconjuntos compactos de $\Bbb D$ .

Ahora dejemos que $(f_k), f_k \in \mathfrak{F}$ sea una secuencia tal que $$ \lim_{k \to \infty} \text{Re} \, f_k(0) = \sup\{\text{Re} \, f(0) : f\in\mathfrak F\} $$ $(f_k)$ tiene una subsecuencia $(f_{k_j})$ que converge de manera uniforme en un a una función $g$ que es holomorfo en $\Bbb D$ .

Está claro que $g(\frac 12) = 0$ y $$ \text{Re} \, g(0) = \sup\{\text{Re} \, f(0) : f\in\mathfrak F\} \, . $$

Por último, dado que $\lim_{j \to \infty} f_{k_j}^{(n)}(0) = g^{(n)}(0)$ para todos $n$ , $$ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{|g^{(n)}(0)|}{n!}\right)^2\leq 1 $$ para que $g \in \mathfrak F$ . ( Una pista: consideremos una suma finita $\sum_{n=0}^N$ primero).

---

(En respuesta a su comentario:) La función extrema $g$ satisface $g(0) > 0$ . Para ver esto, considere la función $\tilde g$ definido por $$ \tilde g(z) = \frac{|g(0)|}{g(0)} g(z) \, . $$ Entonces $\tilde g \in \mathfrak F$ para que $$ \text{Re} \, g(0) \ge \text{Re} \, \tilde g(0) = \text{Re} \, |g(0)| = |g(0)| \ge \text{Re} \, g(0) . $$ Por lo tanto, la igualdad debe albergar en esta cadena: $$ \text{Re} \, g(0) = |g(0)| $$ lo que implica que $g(0)$ es un número real positivo.

---

Observación: $\sum |a_n|^2\leq 1$ no implica $f:\mathbb{D}\rightarrow\mathbb{D}$ . Por ejemplo, $$ f(z) = - \frac{\sqrt 6}{\pi} \log(1-z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\sqrt 6}{\pi n} z^n $$ no está acotado en $\Bbb D$ , pero tiene $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 = \frac {6}{\pi^2 }\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 \, . $$