¿Cómo calculo las probabilidades en este escenario de toma de decisiones?

Question

Tengo el siguiente problema: Hay que tomar una decisión. Paradójicamente, tiene valor acertar sólo marginalmente al tomar esta decisión, digamos que quiero acertar el 60% de las veces. Es decir $p(\text{adjusted correct})=0.6$ . Sé por experiencia que soy capaz de tomar la decisión correcta el 90% de las veces, digamos $p(\text{I'm correct})=0.9$ . Después de tomar mi decisión, puedo pedir a otra persona que tome la decisión en su lugar. Esta persona es muy ingenua, y sólo es capaz de tomar la decisión correcta el 10% de las veces, es decir $p(\text{Alternative opinion correct})=0.1$ . ¿Qué porcentaje de decisiones debo dejar que tome la persona ingenua?

Mi solución:

Sea $x$ es la proporción de decisiones tomadas por la persona ingenua.

$0.1x+0.9(1-x)=0.6$

$x=0.375$

¿Es correcto? Si las dos decisiones no son independientes entre sí, ¿cómo cambiará esto? Es decir, ¿y si la exactitud de la elección de la persona ingenua depende de algún modo de la elección que yo haya hecho? Digamos que si yo tomo la decisión A, entonces la persona ingenua es $30$ por ciento correcta en su elección, si tomo la decisión B, entonces la persona ingenua es $20$ correcta en su elección, y si tomo la decisión C, entonces la persona ingenua es $10$ correcta en su elección.

Answer 1

De la teoría de la probabilidad:

1. $P(T|You) = P(T \& You) / P(You)$

2. $P(T|Them) = P(T \& Them) / P(Them)$

3. $P(T) = P(T|You)P(You) + P(T|Them)P(Them)$

En tu situación:

4. $P(You) + P(Them) = 1$

En $P(You)$ es la probabilidad de que responda a la pregunta y $P(Them)$ es la probabilidad de que respondan a la pregunta, y P(T) es el marginal de la respuesta verdadera. Para responder a tus dos preguntas:

$P(T) = P(T|You)(1 - P(Them)) + P(T|Them)P(Them)$ $= P(T|You) + P(Them)[P(T|Them) - P(T|You)]$

así

$P(Them) = [P(T) - P(T|You)] / [P(T|Them) - P(T|You)]$

$P(Them) = [0.6 - 0.9] / [0.1-0.9] = 0.375$

Así que sí, su cálculo es correcto. En el caso de que su elección dependa secuencialmente de la tuya entonces:

$P(T|Them,X) = P(T \& Them | X) / P(Them | X)$

donde $P(X)$ es la probabilidad de que tomes alguna decisión.

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

Digamos que sólo hay dos opciones A y B. Si se toma la decisión A, entonces la persona ingenua acierta un 30% en su elección; si se toma la decisión B, entonces la persona ingenua acierta un 20% en su elección. Históricamente, el 60% de las veces A es la respuesta correcta. Si tomas la decisión A ocurre $0.6 * 0.9 + 0.4 * 0.1$ . Por lo tanto, la otra persona correcta sería $(0.6 * 0.9 + 0.4 * 0.1)*0.3 + (1-0.6 * 0.9 - 0.4 * 0.1)*0.2$ .

Entonces, ¿resuelve x como antes?

Sólo mis dos centavos.