Encontrar límites de funciones racionales como$x\to\infty$

Question

Posibles Duplicados:
Encontrar el límite de $\frac{Q(n)}{P(n)}$ donde $Q,P$ son polinomios

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x^2+1)^2}{(x-1)^2(x^2+x)}.$$

No sé por dónde empezar en esto, he intentado multiplicar, y que no ayuda realmente. Parece muy complicado y sé que tengo que reducir de alguna manera, pero todo lo que hago sólo lo hace más complicado.

Answer 1

Sugerencia: divida el numerador y el denominador entre la potencia más alta de$x$ que ocurre (en este caso,$x^4$); Distribúyalo para que le muestre exactamente lo que está pasando. Por ejemplo, $$ \begin{align*} \frac{1}{x^4}(x-1)^2(x^2+x) &=\frac{1}{x^2}\times\frac{1}{x^2}\times(x-1)^2\times(x^2+x) &&\text{(factor }\frac{1}{x^4}\text{)}\\ &= \frac{1}{x^2}\times(x-1)^2 \times \frac{1}{x^2}\times (x^2+x) &&\text{(reordering)}\\ &= \left(\frac{1}{x^2}(x-1)^2\right)\times\left(\frac{1}{x^2}(x^2+x)\right)&&\text{(associativity)}\\ &= \left(\frac{1}{x}(x-1)\frac{1}{x}(x-1)\right)\times\left(\frac{1}{x^2}(x^2+x)\right)\\ &=\left(\frac{x-1}{x}\times\frac{x-1}{x}\right)\times\left(\frac{x^2+x}{x^2}\right)\\ &=\left(\frac{x-1}{x}\right)^2\left(\frac{x^2+x}{x^2}\right). \end {align *} $$ Ahora simplifique un poco. Luego haga lo mismo con el numerador y vea qué sucede como$x\to\infty$.

(Una vez que tenga más familiaridad con el comportamiento final y los límites de las funciones racionales, podrá calcular este límite "a ojo").

Answer 2

Imaginar a multiplicarse fuera de la parte superior y la inferior (imaginar es menos trabajo que hacer). La parte superior es$4x^4$, además de algunas menor grado basura. La parte inferior es$x^4$, además de algunas menor grado basura. El comportamiento de un polinomio por un gran $x$ está determinado por su término de mayor grado. Así que para un gran $x$, nuestra expresión debe ser de alrededor de $4x^4/x^4$, es decir, alrededor de $4$.

El anterior razonamiento es el corazón de la materia. Sin embargo, es probable que se espera que hagan más formalmente justificados respuesta. No hay un estándar truco que hace que el anterior razonamiento más precisa.

Tome $x \ne 0$, y dividir la parte superior por $x^4$. Llegamos $(2+ 1/x^2)^2$. Dividir la parte inferior por $x^4$. Llegamos $(1-1/x)^2(1+1/x)$. Así, por $x\ne 0$, nuestra expresión es igual a $$\frac{\left(2+\frac{1}{x^2}\right)^2}{\left(1-\frac{1}{x}\right)^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}.$$

Ahora podemos ver exactamente lo que sucede como $x\to\infty$.

Comentario: la Multiplicación de fuera , arriba y abajo, como lo hizo, también le da un muy buen comienzo. El siguiente paso es dividir la parte superior e inferior por $x^4$. Así, por ejemplo, cuando se multiplica la parte superior se consigue $4x^4+4x^2+1$. Cuando se multiplica la parte de abajo usted consigue $x^4-x^3-x^2+x$. Así que estamos interesados en $$\lim_{x\to\infty}\frac{4x^4+4x^2+1}{x^4-x^3-x^2+x}.$$ Ahora dividir la parte superior e inferior por $x^4$. Queremos $$\lim_{x\to\infty}\frac{4+\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^4}}{1 -\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}.$$ La respuesta es evidente.

Que es perfectamente correcto enfoque. Algunas personas pueden considerar que es más difícil que la primera solución que me dio. Sin embargo, puede que le resulte más fácil. La única cosa que me molesta acerca de que está calculando todos aquellos de menor grado términos, todo el tiempo sabiendo que no hacer un poco de diferencia!

Answer 3

Por sustitución.

Creo que el OP está teniendo algunas dificultades para dividir por una potencia de $x$ y la simplificación de la función racional, en términos de $1/x$. Debo admitir que la simplificación del proceso parece un poco antinatural mientras se trabaja con $1/x$.

Por lo tanto, mi sugerencia es que, al principio, sustituto $y = 1/x$. A continuación, $x \to \infty$ es equivalente a $y \to 0$. (Tenga en cuenta que deberíamos estar hablando de la cara límite de $x \to 0^+$, pero vamos a ignorar ese tema aquí.)

Conectar esta en el numerador, obtenemos: $$ (2x^2+1)^2 = \left(2\frac{1}{y^2} + 1\right)^2 = \left(\frac{2+y^2}{y^2}\right)^2 = \frac{(2+y^2)^2}{y^4}. $$ Del mismo modo que el denominador se convierte en: $$ (x-1)^2(x^2+x) = \left( \frac{1}{y} - 1\right)^2 \left( \frac{1}{y^2} + \frac{1}{y} \right) = \frac{(1-y)^2}{y^2} \times \frac{1+y}{y^2} = \frac{(1-y)^2(1+y)}{y^4}. $$

Dividiendo el numerador por el denominador, obtenemos $$ \frac{(2x^2+1)^2}{(x-1)^2(x^2+x)} = \frac{(2+y^2)^2}{y^4} \times \frac{y^4}{(1-y)^2(1+y)} = \frac{(2+y^2)^2}{(1-y)^2(1+y)}. $$ (Observe que el problema de la $y^4$ términos bien cancelar).

Por último, tenemos $$ \lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2+1)^2}{(x-1)^2(x^2+x)} = \lim_{y \to 0} \frac{(2+y^2)^2}{(1-y)^2(1+y)}. $$ Creo que el último límite debe ser fácil de resolver (esencialmente conectando $0$).

Answer 4

Para funciones racionales y cuando los límites son tomadas como $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$, la respuesta será la misma si sólo mantener el mayor grado de término en la parte superior y el mayor grado de término en la parte inferior. Varias de las respuestas ya dadas indicar el motivo por el que este sea el caso (una vez que usted entienda las cosas un poco mejor), pero por esta razón las respuestas que implican más trabajo de lo que sea estrictamente necesario para encontrar el límite (en oposición a justificar que lo que se obtiene es de hecho el límite). Lo que he dicho en la primera frase reducirá en gran medida el trabajo que tiene que hacer una vez que te das cuenta de que usted no tiene que multiplicar todo para conseguir sus manos en los términos con los mayores grados.

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x^2 + 1)^{2}}{(x-1)^{2}(x^2 + x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x^2)^{2} +\; ...}{(x^2 + \; ...)(x^2 + x)}$$

$$ = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^2}{(x^2)(x^2)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4}{1} = 4$$

La clave esta en lograr reducir su trabajo está en aprender de manera eficiente conseguir sus manos en los términos con los mayores grados (estos términos son a menudo llamado el dominante términos). He aquí un ejemplo que ilustra mejor lo que estoy hablando acerca de que el ejemplo que usted tenía. Considere la posibilidad de

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x^3 - 5x + 8)^{2}(2x - 1)^2}{(5 - 2x^2)^3(9x^2 - 16)}$$

Expanda el numerador sólo lo suficiente para conseguir sus manos en el numerador dominante del término:

$$(3^{2}x^{6} +\; ...)(2^{2}x^{2} + \;...) = (9)(4)x^{8} +\; ...$$

Expanda el denominador sólo lo suficiente para conseguir sus manos en el denominador dominante del término:

$$(-2^{3}x^{6} + \; ...)(9x^2 + \; ...) = (-8)(9)x^{8} + \; ...$$

Por lo tanto, obtenemos

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x^3 - 5x + 8)^{2}(2x - 1)^2}{(5 - 2x^2)^3(9x^2 - 16)}= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(9)(4)x^{8}}{(-8)(9)x^{8}} = -\frac{1}{2}$$

Answer 5

SUGERENCIA $\displaystyle\rm\ \frac{a_4\ x^4 + a_3\ x^3 + a_2\ x^2 +a_1\ x + a_0}{b_4\ x^4 + b_3\ x^3 + b_2\ x^2 +b_1\ x + b_0}\: =\: \frac{a_4\ + \frac{a_3}x + \frac{a_2}{ x^2} +\frac{a_1}{x^3} + \frac{a_0}{x^4}}{b_4\ + \frac{b_3}x + \frac{b_2}{ x^2} +\frac{b_1}{x^3} + \frac{b_0}{x^4}}\to \frac{a_4}{b_4}\: $ como$\rm\: x\to \infty$

El numerador de escala, denominador por$\rm\:x^{-4}\:$ esencialmente cambia las variables a$\rm\ z = 1/x = 0 \ $ vs.$\rm\ x = \infty\:,\ $, reduciéndolo al límite más simple de una función racional en$0$. Muchos límites en$\rm\:x = \infty\:$ se simplifican cambiando las variables a$\rm\:z = 1/x = 0\:.\:$ Como vimos anteriormente, para las funciones racionales, este cambio variable se logra rápidamente mediante una escala simple.