¿Puede alguien ver una buena manera de probar lo siguiente para $0\le x \le 1$?
$$\sqrt{1-x^2}\ge \operatorname{erf}(\sqrt{-\log x})$$
$\operatorname{erf}$ se define como
$$\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-t^2} \, dt$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $y = \sqrt{-\log x}$. A continuación, la desigualdad se reduce a $\text{erf}(y) \leq \sqrt{(1-e^{-2y^2})}$ o, equivalentemente,$\text{erf}^2(y) + e^{-2y^2} \leq 1$. Ahora $\text{erf}^2(y)$ se puede escribir como una integral doble $\text{erf}^2(y) = \frac{4}{\pi} \int_{0}^y \int_{0}^{y} e^{- (a^2+b^2)} da db$ (Como Qiaochu puntos Yuan, las funciones involucradas son bien comportados y la integral doble está bien definido). Reemplazar el ámbito de la integración de la plaza de lado a $y$ en el primer cuadrante de un cuarto de círculo de radio $y\sqrt{2}$ en el primer cuadrante y el interruptor de polar de coordenadas. Esto daría a la desigualdad de $\text{erf}^2(y) \leq 1-e^{-2y^2}$ que es lo que queríamos.
