Supongamos que$\gamma$ es una curva cerrada suave en$U=\mathbb{C} - \{0\}$. Supongamos que el número de bobinado de$\gamma$ alrededor de 0 es 0. ¿Es$\gamma$ homotópico a un punto en$U$?
Respuesta
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La curva$\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C-\{0\}$ puede escribirse como$\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}$ para$a\le t\le b$ con$r,\theta$ continuo y$r>0$. Wlog. $\gamma(a)=\gamma(b)=1$, es decir,$r(a)=r(b)=1$,$\theta(a)=0$ y (porque el número de devanado es cero)$\theta(b)=0$. Podemos definir$\sqrt[n]{}$ en$\gamma([a,b])$ simplemente dejando que$\sqrt[n]{\gamma(t)}=\sqrt[n]{r(t)}\cdot e^{\frac ini\theta(t)}$. Si$n>\frac\pi2\max|\theta|$, vemos que$\Re(\sqrt[n]{\gamma(t)})>0$. Esto le permite a uno contraer fácilmente$\sqrt[n]{\gamma(t)}$ a$1$ dentro del semiplano derecho, por ejemplo, dejando. $$H(\tau,t)=(1-\tau)\left(\sqrt[n]{\gamma(t)}-1\right)+1.$ $ Como consecuencia,$$(H(\tau,t))^n=\left((1-\tau)\left(\sqrt[n]{\gamma(t)}-1\right)+1\right)^n$ $ es una homotopía que retrae$\gamma$ a$1$.
