Suma doble Sobre todo subconjunto de $\{1,2,...n\}$

Question

En el libro de Benson "Polynomial In variants of Finite Groups" se afirma que(Sin ninguna prueba):

$$ j! u_1u_2...u_j =\sum_{I \subseteq \{1,2,...,j\} } (-1)^I (\sum_{i \in I}u_i)^j$$

Dónde $I$ recorre todos los subconjuntos de $\{1,2,...,n\}$

He intentado demostrar esta afirmación por inducción pero parece que no es fácil por inducción.Es esta igualdad realmente fácil porque Benson no dice ni una sola palabra sobre la prueba de esto.Alguna idea para demostrar esto?

Answer 1

Es un polinomio homogéneo de grado $j$ . Fijar algún subconjunto $J\subseteq \{1,\ldots,j\}$ y grados $(d_k \mid k\in J)$ . (Así que $\sum d_k=j$ .) Entonces el coeficiente del monomio $$ \prod_{k\in J }u_k^{d_k}$$ es igual a $$\frac{j!}{\prod_{k\in J}d_k!}\sum_{I\supseteq J}(-1)^{|I|} = \frac{j!}{\prod_{k\in J}d_k!} \sum_{m=0}^{j-|J|}{j-|J| \choose m} (-1)^{|J|+m} = \begin{cases} j!\,(-1)^j & |J| =j \\[1ex] 0 & \textrm{otherwise}\end{cases}$$