Inyectividad entre nudo no trivial en toro y$S^1$ en toro.

Question

$X = S^1 \times D^2$ $A$ el círculo mostrado en la figura, Muestran que no hay tiraje $r \colon X \to A$.

Supongamos por contradicción que hay una retracción $r \colon X \to A$, entonces eso significa que $$i_*\colon \pi_1(A, x_0) \to \pi_1 (X, x_0)$$ es inyectiva.

$$\pi_1(S^1 \times D^2) \simeq \pi_1(S^1) \times \pi_1(D^2) \simeq \mathbb{Z},$$ y $$\pi_1(A) \simeq ?$$

Así que sé que $A$ es no trivial de nudo en el toro, que no puede ser homotópica a $S^1$ como el espacio de $X$. Pero no sé más. Puedo solicitar para algunas sugerencias para continuar?

Answer 1

El mayor problema con la existencia de una retracción se debe a que si parametriza$A$ a través de$\varphi : S^1 \to S^1 \times D^2$ con$\varphi(S^1) = A$, entonces$\varphi$ es homotópico a un mapa constante (no hay problema con cruce en este contexto porque el bucle vive en$S^1 \times D^2$). Si tuviéramos una retracción$r : S^1 \times D^2 \to A$, ¿qué puede decir sobre$r \circ \varphi$?

Si necesitas más detalles, pregunta.

Espero que ayude,