Triple integración en coordenadas cilíndricas.

Question

Determine el valor de$ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2x - x^2}} \int_{0}^{1} z \sqrt{x^2 +y^2} dz\,dy\,dx $

Mi intento: Entonces, en coordenadas cilíndricas, el integrando es simplemente$ \rho$. $\sqrt{2x-x^2} $ es un círculo de centro (1,0) en el plano xy. Asi que $ x^2 + y^2 = 2x => \rho^2 = 2\rho\cos\theta => \rho = 2\cos\theta $

Por lo tanto, llegué a las transformaciones de límite,$ 0 < \rho < 2\cos\theta,\,\, 0 < z < 1, \text{and}\,\,0 < \theta < \frac{\pi}{2} $

Al juntar esto, se obtiene$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} \int_{0}^{1} z\,\,\rho^3\,dz\,d\rho\,d\theta $ en coordenadas cilíndricas. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Como joriki notó completamente; su integral sería$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} \int_{0}^{1} z\,\,\rho^2\,dz\,d\rho\,d\theta=\bigg(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta}\rho^2\,d\rho\,d\theta \bigg)\times \int_{0}^{1} z\ dz\\\ =\bigg(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho^3}{3}\bigg|_0^{2\cos(\theta)}d\theta \bigg)\times \frac{1}{2}=\frac{8}{9}$ $

Answer 2

Todo parece correcto, excepto que solo debería ser$\rho^2$, ya que tenía un factor de$\rho$ en el integrando y el jacobiano para coordenadas cilíndricas y polares solo contiene un factor de$\rho$; Es el de coordenadas esféricas que tiene dos. (Puedes recordar esto notando que los factores de$\rho$ necesitan compensar el número de coordenadas que se reemplazan por ángulos para que las unidades salgan bien).