Utilizar sustituciones complejas para evaluar integrales.

Question

Usa la sustitución$z = e^{i\theta}$ para evaluar

PS

¿Puede alguien apuntarme en la dirección correcta?

Answer 1

Combina lo más destacado de las respuestas de Mary Star y el Dr. MV.

Sustituya$z=e^{i\theta}$: $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sin(\theta)-2} &=\oint\overbrace{\frac{2i}{z-\frac1z-4i}}^{\frac1{\sin(\theta)-2}}\overbrace{\ \ \ \ \frac{\mathrm{d}z}{iz}\ \ \ \ }^{\mathrm{d}\theta}\\ &=\oint\frac{2\,\mathrm{d}z}{z^2-4iz-1}\\ &=\oint\frac1{i\sqrt3}\left(\color{#C00000}{\frac1{z-i\left(2+\sqrt3\right)}}-\color{#00A000}{\frac1{z-i\left(2-\sqrt3\right)}}\right)\mathrm{d}z\\ &=\frac{2\pi i}{i\sqrt3}(\color{#C00000}{0}-\color{#00A000}{1})\\[3pt] &=-\frac{2\pi}{\sqrt3} \end {align} $$ donde$i\left(2+\sqrt3\right)$ está fuera del círculo unitario y$\frac1{z-i\left(2-\sqrt3\right)}$ tiene un residuo de$1$.

Answer 2

Deje$z=e^{i\theta}$ para que

$$ \begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1}{\sin \theta -2}\,d\theta &=\oint_{|z|=1}\frac{2}{\left(z-i(2+\sqrt 3)\right)\left(z-i(2-\sqrt 3)\right)}\,dz \tag 1\\\\ &=2\pi i \left(\frac{2}{-i2\sqrt 3)}\right) \tag 2\\\\ &=-\frac{2\pi}{\sqrt 3} \end {align} $$

donde al pasar de$(1)$ a$(2)$, invocamos el teorema de residuos.

Answer 3

Insinuación:

$$e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$ $$$e^{-i\theta}=\cos \theta -i \sin \theta$ $

Entonces$$\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i \theta}}{2i}\Rightarrow \sin \theta=i\frac{e^{-i\theta}-e^{i \theta}}{2}=i\frac{z^{-1}-z}{2}$ $