Determinar el número de soluciones de $x^p\equiv 1\mod p^h$ utilizando raíces primitivas

Question

Así que el problema es determinar el número de soluciones de la congruencia $x^p\equiv 1\mod p^h$ , donde $p$ es un primo impar y $h\geq2$ . Se nos pide que establezcamos el resultado utilizando raíces primitivas.

Sabemos que para cualquier raíz primitiva $g_1$ de $p$ , $g=g_1+kp$ es, para algunos $k$ , una raíz primitiva mod $p^h$ . Además, si $x$ es una solución de la congruencia, entonces hay alguna $r$ tal que $x \equiv g^r \mod p^h$ . La congruencia se convierte entonces en $$(g^r)^p\equiv1\mod p^h,$$ de lo que podemos deducir $\phi(p^h)rp$ . Esto significa especialmente $p^{h2}(p1)r$ . En definitiva, ahora sabemos que $r$ tiene que ser par y sólo tomar valores $p^{h2}(p1)\leq r\leq p^{h1}(p1)$ .

He jugado un poco con algunos números y he descubierto que $r$ probablemente tiene que ser de la forma $kp^{h2}(p1)$ para $1\leq k\leq p$ lo que significa que hay exactamente $p$ soluciones distintas a la congruencia, como era de esperar (al pedir a WolframAlpha que resolviera la congruencia original). Estas soluciones vienen dadas por $$x=g^{kp^{h-2}(p-1)}.$$ Podemos comprobarlo y parece que encaja.

Pero realmente no sé cómo demostrar que el número de soluciones es $p$ . ¿Por qué $r$ ¿tiene que ser de esa forma específica? Eso es sólo una cosa que he observado pero no soy capaz de probar. Cualquier pista sería muy apreciada

Answer 1

Tu trabajo parece sólido y ya has terminado casi todo. Desde $h\ge 2$ , de $\phi(p^h)\mid rp$ tenemos $$rp\equiv 0\pmod{\phi(p^h)} \implies r \equiv 0 \pmod{\frac{\phi(p^h)}{p}}$$ Es evidente que esta congruencia admite $p$ soluciones incongruentes en modulo $\phi(p^h)$ , a saber: $$r = k\frac{\phi(p^h)}{p},~ 0\le k \lt p $$

El actual $p$ Se pueden obtener soluciones incongruentes reduciendo $g^r$ en el módulo $p^h$ $$x\equiv g^r \pmod{p^h}$$