¿Interpretar la regresión logística con una interacción y un término cuadrático?

Question

Tengo un modelo de regresión logística que contiene una continua variable independiente X, una variable dependiente Y una independiente, variable categórica Z con 3 categorías a, B, y C.

El modelo es esencialmente:

$Y = \beta_0 +\beta_1X+\beta_2X^2+\beta_3XZ $.

Entiendo que si el modelo no tiene los términos de interacción, que un 1 unidad de incremento en X está asociada con un $\exp(\beta_1)$ de cambio en las probabilidades de y. De hecho, yo a menudo me dicen algo así como "Un 10 unidad de incremento en X está asociada con un $\exp(10\beta_1)$ de aumento en las probabilidades de $Y$. Pero, ¿cómo iba yo a decir que esto o interpretar esto ahora que no hay un término cuadrático en mi modelo? No tendría sentido decir que un 10 unidad de cambio en $X$ se asocia con un $\exp(10\beta_1)$ en las probabilidades de $Y$ ahora, ya que de ello depende el valor de $X$, ¿verdad? Es incluso posible que diga algo como esto ahora, ya que las probabilidades de cambio en función del valor de X?

Answer 1

El único modelo que realmente haría sentido es

$$Y = \beta_{0} + \beta_{1}X + \beta_{2}X^{2} + \beta_{3}(Z=b) + \beta_{4}(Z=c) + \beta_{5}X(Z=b) + \beta_{6}X(Z=c) + \beta_{7}X^{2}(Z=b) + \beta_{8}X^{2}(Z=c)$$

where $(Z=k)$ denotes 1 if $Z=k$ and 0 otherwise.

In this model the test for interaction is $H_{0}: \beta_{5}\dots \beta_{8} = 0$.

The $X$-effect depends on $Z$ and on the starting point for $X$ since $X$ is nonlinear. To get the effect of $X$ going from $u$ to $v$ when $Z=k$ write down the special case of the above formula when $X=v, Z=k$ then evaluate it when $X=u, Z=k$ and subtract term by term. What is left is the formula for that $X$ effect at $Z=k$ which you estimate by plugging in the the $\beta$ estimates from the model fit. Anti-log and you have the odds ratio. When $k=a$ the result is $\beta_{2}(v^{2} - u^{2}) + \beta_{1}(v - u)$.

Note that it is not common that $v-u = 1$, i.e., to get a meaningful $X$ effect you might use the quartiles of $X$ and not assume that a 1-unit change is that meaningful for the scale of $X$.

Note also that there is no such thing as the $X$ effect when $Z$ no está configurado.

El uso de la R rms paquete uno puede conseguir cualquier contraste de interés con facilidad. Para obtener el modo de utilización de este ejemplo para comparar los 30 años de edad, con 20 años de edad para la primera carrera del grupo, donde la raza tiene 3 categorías a, b, c:

require(rms)
f <- lrm(y ~ pol(age, 2) * race) # quadratic with interaction
contrast(f, list(age=30, race='a'),
            list(age=20, race='a'))