¿Por qué se define la función de onda en el espacio de configuración abstracta, en lugar del espacio real$\mathbb{R}^3$?

Question

Acabo comenzó a estudiar QM así que me disculpo de antemano si esta pregunta es tonta o mal puesto.

Mi comprensión inicial de la función de onda $\psi(x,t)$ fue la que existe en la real espacio 3-dimensional $\mathbb{R}^3$, $x$ ser una posición en dicho espacio. He llegado a comprender que este entendimiento es malo y que $\psi$ es en realidad un resumen de la función definida sobre un resumen de configuración "-" espacio cuyos puntos son los posibles estados del sistema bajo consideración, y en realidad no ubicaciones físicas.

Esta distinción es importante, ya que, por ejemplo, al principio pensé que con el fin de abordar un sistema de dos partículas tendríamos que componen las funciones de onda de cada partícula en una manera similar a las clásicas ondas, yo.e: $$\psi(x,t)=\psi_1(x,t)+\psi_2(x,t)$$ Pero, en realidad, el tratamiento adecuado sería considerar la posibilidad de un mayor-dimensional en el espacio de configuración. Que es, el compuesto de la función tendría que ser de la forma: $$\psi(x_1,x_2,t)$$

Mi pregunta es ¿cómo es que los físicos decidió describir la mecánica cuántica con la (aparentemente más complicada) idea de resumen de la configuración de espacio de funciones en lugar de la onda-funciones definidas en el espacio físico?

Entiendo que la configuración de enfoque de espacio es más sensato teniendo en cuenta que Nace de la interpretación de la función de onda, pero mi profesor citó el hecho de que $\psi$ existe en la configuración del espacio como una de las razones por las que Nace de la interpretación fue preferido sobre enfoques alternativos (por ejemplo Schrödinger, interpretación).

Hubo experimentos que motivó a los físicos para describir a $\psi$ como una configuración de espacio de la función? Por ejemplo, hubo un experimento que desacreditado el enfoque anterior he presentado a dos de partículas sistemas cuánticos?

Answer 1

Representación en $\mathbb{R}^3$ frecuencia, es conveniente, pero el estado cuántico $|\psi\rangle$ sí vive ahí en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, un resumen completo de espacio vectorial que tiene una bien definida interior del producto. El establecimiento de este marco nos permite analizar el estado en cualquiera que sea el más conveniente base para el problema en cuestión. Específicamente, para cualquier juego completo de estados propios de su Hamiltonianos, podemos representar la función de onda en la que el espacio se pegue en la integridad. Si usted tiene un continuum o discretización de estos estados dicta la forma de su integridad. Por ejemplo, la integridad de energía discreta autoestados $|n\rangle$ parece

$$\sum_{n}|n\rangle\langle n| = 1,$$

mientras que la integridad de la posición de los autoestados se representa como

$$\int d^3\vec{r}\:'\:|\vec{r}\:'\rangle\langle \vec{r}\:'| = 1.$$

Representa a su estado cuántico en el espacio de un determinado conjunto completo de funciones propias es tan simple como golpear con integridad. Vamos a utilizar la anterior integridad para representar a $|\psi\rangle$ en este espacio:

$$|\psi(t)\rangle = \int d^3\vec{r}\:'\:|\vec{r}\:'\rangle\langle \vec{r}\:'|\psi(t)\rangle = \int d^3\vec{r}\:'\:|\vec{r}\:'\rangle \psi(\vec{r}\:',t).$$

Una propiedad clave de la integridad de su espacio de representación es ortogonalidad. En la posición del espacio, esto se parece a $\langle \vec{r}|\vec{r}\:'\rangle = \delta^3(\vec{r}-\vec{r}')$. Así que vamos a ver qué significa esto para nuestra representación en $\mathbb{R}^3$:

$$\langle \vec{r}|\psi(t)\rangle = \int d^3\vec{r}\:'\:\langle\vec{r}\:|\vec{r}\:'\rangle \psi(\vec{r}\:',t) = \int d^3\vec{r}\:'\:\delta^3(\vec{r}-\vec{r}') \psi(\vec{r}\:',t) = \psi(\vec{r},t).$$

Mientras que esto puede no parecer nada más allá de lo que ya sabe, es cómo deberíamos pensar en la representación que has elegido y que muestra todo lo que es agradable y consistente. Siguiendo este mismo procedimiento para cualquier juego completo de autoestados permite representar la función en ese espacio. Por ejemplo, vamos a ver cómo nos iba a ir de un estado representados en $\mathbb{R}$ a su representación en el impulso de espacio:

$$\psi(p,t) = \langle p|\psi(t)\rangle = \int dx \langle p|x\rangle\langle x|\psi(t)\rangle = \int dx \langle p|x\rangle\psi(x,t).$$

Lo difícil aquí es el $\langle p|x\rangle$, que es la posición eigenstate representados en el impulso de espacio. Sin embargo, es también equivalente a $(\langle x|p\rangle)^*$, el impulso autoestados representado en la posición del espacio, que son ondas planas $e^{ikx} = e^{ipx/\hbar}$. Integridad termina dándonos un prefactor $1/\sqrt{2\pi \hbar}$ en esto, así que vamos a ver lo que esto nos dice acerca de la anterior:

$$\psi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\manejadores}}\int \psi(x,t)e^{-ipx/\manejadores}dx \\ \psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\manejadores}}\int \psi(p,t)e^{ipx/\manejadores}dp.$$

Donde el segundo se sigue de partida con $\langle x|\psi(t)\rangle$ en los pasos anteriores. Esto nos muestra que las representaciones en $x$ e $p$ son las transformadas de Fourier de uno a otro, y todo esto puede ser inmediatamente extendido a $\mathbb{R}^3$. Por ahora no hay nada exclusivos o especiales a $x$ o $p$ acerca de esto, todo lo que necesitamos es la integridad de los autoestados de representar a un estado en que el espacio.

Ahora, en representación de varias partículas con una sola función de onda nos obliga a ampliar nuestro espacio de Hilbert en sus dimensiones superiores equivalentes: espacio de Fock. Abstenerse de entrar en demasiado detalle, voy a motivar a este espacio con la introducción de la definición de la Wiki:

Fock espacio es la suma directa de tensor de productos de copias de una sola partícula en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ $$\mathcal{F} = \mathbb{C}\oplus\mathcal{H}\oplus(S_\nu(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}))\oplus...$$ where $S_\nu$ is the operator which symmetrizes or antisymmetrizes a tensor, depending on whether the Hilbert space describes particles obeying bosonic ($\nu=+$) or fermionic ($\nu=-$) estadísticas.

Sus múltiples partículas estado $\psi$ debe caracterizar las posiciones de cada uno por separado, así, explícitamente, dependiendo tanto de $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$. Tal vez esto puede ser más comprendido intuitivamente la pregunta "¿Cuál sería la probabilidad de que podemos medir la partícula 1 en un volumen $d^3\vec{r}_1$ y de partículas de 2 en volumen $d^3\vec{r}_2$?" La respuesta sería la $|\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)|^2d^3\vec{r}_1d^3\vec{r}_2$, y la normalización requeriría

$$\int|\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)|^2d^3\vec{r}_1d^3\vec{r}_2 = 1.$$

Si usted tiene indistinguibles de las partículas, es necesario construir una función de onda que es evasivo en cuanto a que la partícula está en que estado. Con la simetría de los requisitos, estás dos-la posición de la partícula función de onda deberán satisfacer $\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t) = \pm\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1,t)$. Si usted sabe las dos ocupadas unidos, llame de $\psi_\alpha$ e $\psi_\beta$, entonces esto está satisfecho con

$$\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t) = \psi_\alpha(\vec{r}_1,t)\psi_\beta(\vec{r}_2,t)\pm\psi_\alpha(\vec{r}_2,t)\psi_\beta(\vec{r}_1,t),$$

donde la $+$ es para bosones, y $-$ para fermiones. Una buena manera de ver a esta asociación de signos a través de la observación en el caso de $\psi_\alpha = \psi_\beta$. Esto le da cero de la función de onda para los fermiones, ningún estado en todo! Este es Pauli del principio de exclusión.