Tengo un ejemplo concreto a continuación y creo que mi prueba es errónea porque parece demasiado simple, funcionaría para el caso general lo cual dudo que sea cierto. También me interesaría la respuesta general; ¿cuándo es cerrado el producto de conjuntos cerrados en la topología del producto?
Demuestre que el conjunto $ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} $ es un subconjunto cerrado del espacio topológico $ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{R} $ (dotado de la topología del producto)
Mi intento: $\mathbb{N}$ es un subespacio cerrado de $\mathbb{R} $ con la topología canónica. En particular, $\overline{\mathbb{N}}=\mathbb{N}$ . Además, como estamos en la topología del producto, es un hecho conocido que el cierre de un producto es el producto de los cierres. Estos dos hechos juntos significan $$ \overline{ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} }= \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \overline{\mathbb{N}} = \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} $$ Desde $ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} $ contiene su cierre, está cerrado
