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¿Cuándo es cerrado el producto de conjuntos cerrados en la topología del producto?

Tengo un ejemplo concreto a continuación y creo que mi prueba es errónea porque parece demasiado simple, funcionaría para el caso general lo cual dudo que sea cierto. También me interesaría la respuesta general; ¿cuándo es cerrado el producto de conjuntos cerrados en la topología del producto?

Demuestre que el conjunto $ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} $ es un subconjunto cerrado del espacio topológico $ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{R} $ (dotado de la topología del producto)

Mi intento: $\mathbb{N}$ es un subespacio cerrado de $\mathbb{R} $ con la topología canónica. En particular, $\overline{\mathbb{N}}=\mathbb{N}$ . Además, como estamos en la topología del producto, es un hecho conocido que el cierre de un producto es el producto de los cierres. Estos dos hechos juntos significan $$ \overline{ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} }= \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \overline{\mathbb{N}} = \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} $$ Desde $ \prod_{\alpha\in\mathbb{R}} \mathbb{N} $ contiene su cierre, está cerrado

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Dick Kusleika Puntos 15230

Si ese hecho sobre los cierres es conocido por usted (y de hecho es cierto), entonces este es un argumento válido para demostrar $\prod_{\alpha \in \mathbb{R}} \mathbb{N}$ está cerrado en $\prod_{\alpha \in \mathbb{R}} \mathbb{R}$ .

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Gracias. En mi experiencia, me equivoco cada vez que pienso que algo tiene una prueba de 2 líneas.. Al omitir algún detalle o suposición importante

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