Supongamos que$N\trianglelefteq G$ y$H\leqslant G$. Si$\vert G/N \vert$ es la prueba principal$H\subseteq N$ o$ NH=G$

Question

Supongamos $N\trianglelefteq G$ e $H\leqslant G$. Si $\vert G/N \vert$ es el primer demuestran $H\subseteq N$ o $ NH=G$

Creo que quiero hacer uso de este hecho que si $H,K\leqslant G$ que $HK=H \iff K\subseteq H$.

Así que aquí me iba a proceder por casos $H\subseteq N$ o no lo es. Caso 1 no hay nada que demostrar.

Para $H\not\subseteq N$ entonces $NH\not = H$ pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. Estoy pensando en algo acerca de $N$ normal debe darme una razón por la que $NH=G$.

Answer 1

$N \unlhd G$ e $|G/N| = p$ es primo. Para cualquier $H \le G$, $H \subseteq N$ o $NH = G$.

Desde $N$ es normal, $NH = HN \implies NH \le G$, y aún más, $N \unlhd NH$, por lo que $NH/N \le G/N$. Pero desde $G/N$ es de orden $p$, un primo, por parte del teorema de Lagrange, $|NH/N| = 1$ o $p$.

Si $|NH/N| = 1$, a continuación, $NH = N$, y por lo tanto, $H \subseteq N$.
(O: $|NH/N| = |H / (H \cap N)| = 1 \implies |H| = |H \cap N| \implies H \subseteq N$).

Si $|NH/N| = p = |G/N|$, a continuación, $NH = G$.