Medible por Lebesgue pero no integrable por Riemann

Question

Toda función acotada $f:[a,b]\to\mathbb R$ que es integrable de Riemann, también es integrable de Lebesgue.

Por otra parte $$ g(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{if} & x\in\mathbb Q\cap[0,1], \\ 0 & \text{if} & x\in [0,1]\setminus\mathbb Q, \end{array} \right. \tag{1} $$ es decir, $g=\chi_{[0,1]\cap\mathbb Q}$ es Lebesgue integrable en $[0,1]$ pero no integrable de Riemann.

De hecho, una función acotada $f:[a,b]\to\mathbb R$ es integrable de Riemann si y sólo si es continua en casi todas partes.

Ahora, la función $g=\chi_{[0,1]\cap\mathbb Q}$ no es integrable de Riemann PERO es igual en casi todas partes a $h\equiv 0$ que ES integrable en Riemann.

Mi pregunta es la siguiente:

¿Existe una función acotada $f:[a,b]\to\mathbb R$ que es integrable de Lebesgue, y no es igual en casi todas partes a una función integrable de Riemann ?

Answer 1

La función característica de un "conjunto gordo de Cantor" (un conjunto de Cantor con medida positiva), es integrable de Lebesgue, pero no es igual en casi todas partes a una función integrable de Riemann, porque cada punto del conjunto gordo de Cantor es una discontinuidad de su función característica.