De los monoides a los anillos conmutativos.

Question

Vamos a definir primero un functor $$F:\mathsf{Mon}^{\text{op}}\a\mathsf{CRing},$$ donde $\mathsf{Mon}^{\text{op}}$ es la categoría opuesta a la categoría de monoids y $\mathsf{CRing}$ es la categoría de anillos conmutativos con uno.

Deje $\mathsf{CSRing}$ ser la categoría de conmutativa semianillos con uno, y $L:\mathsf{CSRing}\to\mathsf{CRing}$ la izquierda adjunto para los desmemoriados functor (en particular, $L(\mathbb N)=\mathbb Z$).

Nuestro functor $F$ será la compuesta $L\circ F'$, donde $F':\mathsf{Mon}^{\text{op}}\to\mathsf{CSRing}$ se define como sigue:

Deje $M$ ser un monoid, $M$-$\mathsf{Set}_{\text{fin}}$ la categoría de finito $M$, y $$S\subconjunto M\text{-}\mathsf{Set}_{\text{aleta}}$$ un esqueleto. Set $0:=\varnothing\in S$, vamos a $1\in S$ ser el terminal de objeto, y por $X,Y\in S$ deje $X+Y\in S$ ser el subproducto de $X$ e $Y$, e $XY\in S$ el producto de $X$ e $Y$.

Es sencillo comprobar que la fórmula $F'(M):=S$ define un functor $F':\mathsf{Mon}^{\text{op}}\to\mathsf{CSRing}$, y se pueden establecer las $F:=L\circ F'$.

Como $F$ envía el trivial monoid a $\mathbb Z$, tenemos un natural de morfismos $F(M)\to\mathbb Z$. En otras palabras, sería mejor para ver $F$ (contravariante) functor de monoids para conmutativa anillos de más de $\mathbb Z$. En particular, $F(M)$ contiene $\mathbb Z$.

Pregunta 1. Es la dimensión de Krull de $F(M)$ siempre igual a uno?

Pregunta 2. Si el monoid $M$ es un grupo de $G$, $F(G)$ siempre integral sobre la $\mathbb Z$?

La respuesta es Sí si

$\bullet$ el índice finito subgrupos de $G$ son normales,

o si

$\bullet\ G$ es finito.

(Consulte a continuación).

Claramente, si $M$ es un grupo de $G$, e $f:G\to\hat G$ es el de morfismos a la profinite conclusión, a continuación, $Ff:F(\hat G)\to F(G)$ es un isomorfismo.

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El anillo de $F(M)$ puede ser descrito de la siguiente manera:

Decir que un $M$es indecomposable si no puede ser escrito como un discontinuo de la unión de sub-$M$-establece en una manera no trivial, y deje $I$ el conjunto de indecomposable objetos de cardinalidad al menos dos en nuestro esqueleto $S$. Para todos los $X,Y\in I$ hemos $$XY=\sum_{Z\in I}\ c_{XY}^Z\ Z,$$ donde cada una de las $(c_{XY}^Z)_{Z\in I}$ es un finitely apoyado a la familia de los números enteros no negativos. Tenemos $$F(M)\simeq\mathbb Z\left[(T_X)_{X\in I}\right]/\mathfrak una,$$ donde la $T_X$ son indeterminates y $\mathfrak a$ es el ideal generado por el $$T_XT_Y-\sum_{Z\in I}\ c_{XY}^Z\ T_Z.$$ En particular, el elemento $1\in F(M)$ y las imágenes de $t_X$ de la $T_X$ formar un $\mathbb Z$-base de $F(M)$, y el natural de morfismos $F(M)\to\mathbb Z$ envía $t_X$ a cero.

También tenga en cuenta que si $M$ es un grupo de $G$, e $N$ un subgrupo normal de índice $i<\infty$, luego tenemos a $(t_{G/N})^2=it_{G/N}$, e $t_{G/N}$ es integral sobre la $\mathbb Z\subset F(G)$. Esto justifica que la primera reclamación después de la Pregunta 2.

Para probar la segunda reclamación, después de la Pregunta 2, recordemos que $I$ es el conjunto de indecomposable objetos de cardinalidad al menos dos en el esqueleto $S$, y que $F(G)$ es generado por una familia de la $(t_X)_{X\in I}$.

Supongamos en primer lugar que el monoid $M$ es un (posiblemente infinita) grupo $G$. El fin de $I$ mediante el establecimiento $X\le Y$ si hay un surjective de morfismos $Y\to X$. Pretendemos

(a) para todos los $X\in I$ el anillo de $F(G)$ es integral sobre la sub-anillo generado por la $t_Y$ con $Y>X$.

Más precisamente:

(b) para todos los $X\in I$ hemos $$X^2=nX+\sum_{Y>X}n_YY$$ con $n,n_Y\in\mathbb N$.

Para probar (b) tenga en cuenta que, para todos los $x_1,x_2\in X$, el estabilizador $H$ de $(x_1,x_2)\in X^2$ es la intersección de los estabilizadores $H_1$ e $H_2$ de $x_1$ e $x_2$. Así tendremos a $H=H_1=H_2$ e $G(x_1,x_2)\simeq X$ o $H<H_i$ para $i=1,2$, e $G(x_1,x_2)>X$ (más correctamente $Y>X$ si $Y$ es el único elemento de $I$ isomorfo a $G(x_1,x_2)$). Esto demuestra (b), y por lo tanto (a).

Claramente, si $G$ es finito, (a) implica que $F(G)$ es integral sobre la $\mathbb Z$, que es el segundo reclamo después de la Pregunta 2.

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Aquí están algunos ejemplos:

Como ya se ha indicado, si $M$ es la trivial monoid, a continuación, $F(M)\simeq\mathbb Z$. También tenemos $F(\mathbb Q)\simeq\mathbb Z$.

El anillo de $F(\mathbb Z)$ admite un $\mathbb Z$base $\{1,t_2,t_3,\dots\}$ con $$t_it_j=(i\de la tierra j)\ t_{i\lor j},$$ donde $i\land j$ e $i\lor j$ denotar el mcd y el mcm de a$i$ e $j$.

Si $M$ es el monoid $\{0,1\}$ con la obvia la multiplicación, entonces el anillo de $F(M)$ admite un $\mathbb Z$base $\{1,t_1,t_2,\dots\}$ con $$t_it_j=t_ {i+1)(j+1)-1}.$$ Si $S_3$ denota el grupo simétrico de tres cartas, luego el anillo de $F(S_3)$ admite un $\mathbb Z$base $\{1,t_2,t_3,t_6\}$ con $$t_2^2=2t_2,\quad t_3^2=t_3+t_6,\quad t_it_6=it_6,\quad t_2t_3=t_6.$$ Si $G$ es el Klein cuatro grupos (es decir, el no-grupo cíclico de orden $4$), luego el anillo de $F(G)$ admite un $\mathbb Z$base $\{1,t_1,t_2,t_3,u\}$ con $$t_i^2=2t_i,\quad u^2=4u,\quad t_iu=2u,\quad t_it_j=u\text{ para }i\ne j.$$

Answer 1

En primer lugar, una observación: su construcción es conocida como el anillo de Burnside (generalmente se considera sólo en el caso de un grupo) que me imagino que te ayudarán a encontrar más información sobre ella.

Pregunta 1: No. De hecho, la monoid $M=\{0,1\}$ que usted ha mencionado es un contraejemplo. Permítanme escribir $x_n$ , por lo que han escrito $t_{n-1}$, lo $x_n$ es el indecomposable $M$con $n$ elementos (la $n$-element set con un solo punto en la imagen de $0$). A continuación, estos elementos $x_n$ satisfacer $x_nx_m=x_{nm}$. Esto deja en claro que en realidad $F(M)$ es sólo el polinomio anillo de $\mathbb{Z}[x_2,x_3,x_5,\dots]$ sobre los elementos $x_p$ donde $p$ es primo. Este anillo tiene una infinidad de Krull dimensión.

Pregunta 2: Sí. Para probar esto, deje $X$ cualquier ser finito $G$-establecer y deje $K$ ser el núcleo de la acción de la $G$ a $X$. Tenga en cuenta que $K$ es finita índice normal subgrupo de $G$, y actos trivialmente en $X^n$ para todos los $n$. De ello se desprende que en realidad la sub-anillo de $F(G)$ generado por $X$ es isomorfo a la sub-anillo de $F(G/K)$ generado por $X$. Desde $G/K$ es finito, esto muestra $X$ es integral sobre la $\mathbb{Z}$ por el trabajo que han hecho.

Por cierto, hay una forma más rápida de ver $F(G)$ es integral sobre la $\mathbb{Z}$ cuando $G$ es un grupo finito. Sólo tenga en cuenta que $F(G)$ es generado como un grupo abelian por la $G$-conjuntos de $G/H$ donde $H$ rangos de todos los subgrupos de $G$. En particular, $F(G)$ es un finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulo y por lo tanto es integral sobre la $\mathbb{Z}$.