Mostrando $\sqrt{2}\sqrt{3} $ es mayor o menor que $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ algebraicamente

Question

¿Cómo podemos establecer de manera algebraica si $\sqrt{2}\sqrt{3}$ es mayor que o menos de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$?

Sé que puede tapar los valores en cualquier calculadora y compara los dígitos, pero que no es muy satisfactorio. He tratado de resolver $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+x=\sqrt{2}\sqrt{3} $$ to see if $x$ es positivo o negativo. Pero yo estoy haciendo sumas de raíces cuadradas, cuyos valores positivos o negativos no son evidentes.

Se puede hacer sin la expansión decimal?

Answer 1

$$\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+1=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-1) < 1$$

La última desigualdad se deduce del hecho de que $(\sqrt{3}-1)$$(\sqrt{2}-1)$$(0,1)$.

La segunda solución

Por AM-GM tiene

$$2\sqrt[4]{6} \leq \sqrt{2}+\sqrt{3}$$

Combine esto con $\sqrt[4]{6} < 2$, que es fácil de probar, y ya está.

Y no algebraicas uno, que es una exageración :)

Deje $\theta$ ser el ángulo de modo que $\cos(\theta)=-\frac{1}{2\sqrt{6}}$. Trazar un punto de $A$ sorteo de dos rayos con un ángulo de $\theta$ entre ellos, y los puntos de recogida $B$ $C$ de estos rayos, de modo que $AB=\sqrt{2}$$AC=\sqrt{3}$. Por el coseno de la ley

$$BC^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}\frac{1}{2\sqrt{6}}=6$$

Por lo tanto el triángulo $ABC$ tiene los bordes de la longitud de la $\sqrt{2}, \sqrt{3}$$\sqrt{6}$, y la desigualdad es exactamente el triángulo de la desigualdad.

Answer 2

Otra forma muy sencilla que funciona para muchos sencilla de las desigualdades es mostrar que la desigualdad es lógicamente equivalente a una tautología:

Como sólo estamos tratando con números positivos, tenemos $$ \sqrt 2 + \sqrt 3 > \sqrt 2 \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \;(\sqrt 2 + \sqrt 3)^2 > 6 \\ \Leftrightarrow\; 2\sqrt 6 > 1.$$ La última desigualdad se cumple desde $\sqrt x \geq 1$ todos los $x\geq 1$.