¿Por qué los ejes de coordenadas son perpendiculares entre sí?

Question

Los ejes de coordenadas se eligen para que sean perpendiculares entre sí porque es conveniente, los cálculos son más fáciles. Esto es lo que he leído.

Pero en caso de que los ejes de coordenadas estén separados por 60 grados, ¿podría un sistema físico exhibir linealidad?

¿El teorema de superposición podría funcionar?

Answer 1

Así que aquí está la razón básica de por qué: nos gusta expresar los vectores en términos de sus componentes, para los que inventamos la unidad de vectores $\hat e^{1,2,3}$ y componentes de $v_{1,2,3}$ para un vector $\vec v$ tales que $$ \vec v= v_1\hat e^1 + v_2\hat e^2 + v_3 \hat e^3. $$ Hay un bilineal combinación entre dos vectores para formar un escalar se llama producto escalar, $$\vec u\cdot\vec v =\lvert \vec u\rvert\lvert \vec v \rvert\cos\theta.$$ Para ortogonal de vectores unitarios, tenemos la propiedad que $$\hat e^m\cdot \hat e^n=\{1\text{ if } m=n\text{ else } 0\},$$ que simplifica esta expresión sólo $$\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.$$ Esta sencilla fórmula es por eso que usamos ortogonal de vectores unitarios en la práctica.

Hay un poco más complicada fórmula torcidos coördinate sistemas, o sin unidad de vectores para su base. Para ello sólo tiene que encontrar un nuevo conjunto de vectores que hace que esta relación verdadera, llamada la base dual. Así que si sus vectores de la base son $\vec b^{1,2,3}$ entonces su base dual es $\vec b_{1,2,3}$ tales que $$\vec b_{m}\cdot \vec b^n=\{1\text{ if } m=n\text{ else } 0\},$$ in other words for $\vec b^1$, say, you look at the plane spanned by $\vec b^{2,3}$, identify a vector normal to it $\vec n$, and then rescale it until its dot product with $\vec b^1$ is $1$, and that then is $\vec b_1$. Para el dual de la base para algunos de los red periódica de puntos le dice a usted acerca de los aviones de ese entramado, a través de sus vectores normales.

Entonces cada vector tiene dos conjuntos de componentes, el regular y el doble componente, $$\begin{align} \vec v&= v_1\vec b^1 + v_2\vec b^2 + v_3 \vec b^3 &=v^1\vec b_1 + v^2\vec b_2 + v^3 \vec b_3, \end{align}$$ al punto que el anterior fácil propiedad se restablezca, en el tiempo que siempre par un índice inferior con el superior de un índice,$$ \vec u=u_1v^1+u_2v^2+u_3v^3=u^1v_1+u^2v_2+u^3v_3.$$

Answer 2

El vector $\vec{R}$ puede describirse con los vectores base $\vec{q}_1\,,\vec{q}_2$: $$\vec{R}_s= a_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix} \cos(\theta)\\ \sin(\theta)\\ \end{bmatrix}=a_1\,\vec{p}_1+a_2\,\vec{p}_2 \tag 1$$

o con el de los vectores base $\vec{e}_1\,,\vec{e}_2$

$$\vec{R}_c= c_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix}=c_1\,\vec{e}_1+c_2\,\vec{e}_2 \tag 2$$

tanto en el caso de la superposición teorema es válido

Editar

¿qué hay acerca de las Misiones de observación electoral?

I) coordenadas generalizadas se $x$ e $y$ con $c_1=x$ e $c_2=y$ obtenemos el Vector de posición $\vec{R}_c$ la ecuación (2)

$$\vec{R}_c= x\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} $$

Energía cinética

$T=m\,\frac{1}{2}\dot{R}_c^T\,\dot{R}_c$ y

La energía potencial

$V=-m\,g\,y$

$\Rightarrow\quad$ Moe

$$ \begin{bmatrix} \ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{c} 0\\ -g\end {array} \right] \etiqueta 3$$

II) generalizado coordenadas se $q_1$ e $q_2$

Con $a_1=q_1$ e $a_2=q_2$ obtenemos el Vector de Posición $\vec{R}_s$ la ecuación (1)

$$\vec{R}_s= q_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}+q_2\begin{bmatrix} \cos(\theta)\\ \sin(\theta)\\ \end{bmatrix}$$

Energía cinética

$T=m\,\frac{1}{2}\dot{R}_s^T\,\dot{R}_s$ y

La energía potencial

$V=-m\,g\,q_2\,\sin(\theta)$

$\Rightarrow\quad$ Moe

$$ \begin{bmatrix} \ddot{q}_1\\ \ddot{q}_2\\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{c} {\frac {g\cos \left( \theta \right) }{\sin \left( \theta \right) }}\\ -{\frac {g}{\sin \left( \theta \right) }}\end {array} \right] \etiqueta 4 $$

La generalización de las aceleraciones de la ecuación (3) y (4) no son iguales. podemos transferencia de la ecuación (4) para obtener las aceleraciones en el ortogonal de coordenadas $\vec{e}_1\,,\vec{e}_2$

$$\begin{bmatrix} \ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{cc} 1&\cos \left( \theta \right) \\ 0&\sin \left( \theta \right) \end {array} \right]\,\begin{bmatrix} \ddot{q}_1\\ \ddot{q}_2\\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{c} 0\\ -g\end {array} \right] \etiqueta 5$$

de modo que la aceleración de la ecuación (3) y (5) son ahora mismo.

Conclusión

Las ecuaciones de movimiento se describe con sesgar los vectores de la base de comparar a las ecuaciones de movimiento se describe con ortogonales los vectores de la base no son lo mismo!.